Determinare un numero tale che dal rango n in su....
Ciao a tutti!
Sto preparando l'esame di Analisi senza aver mai potuto seguire il corso, cerco di capire cosa intende il professore quando in un esercizio mi chiede:
"Si determini un numero n0 tale che dal rango n0 in su (per tutti n≥n0)"
\(\displaystyle
\frac
{n^2+1}
{n^3+n^2+n-1}
<
1/1000
\)
Sinceramente non so come cominciare ad affrontare il problema, qualcuno potrebbe indirizzarmi verso una direzione per capire come risolvere problemi di questo tipo?
Grazie e scusatemi se non ho saputo fare di più da solo, chiedo solo una spintarella e poi provo a terminare da solo!
P.S. cosa intende per Rango?
Luca
Sto preparando l'esame di Analisi senza aver mai potuto seguire il corso, cerco di capire cosa intende il professore quando in un esercizio mi chiede:
"Si determini un numero n0 tale che dal rango n0 in su (per tutti n≥n0)"
\(\displaystyle
\frac
{n^2+1}
{n^3+n^2+n-1}
<
1/1000
\)
Sinceramente non so come cominciare ad affrontare il problema, qualcuno potrebbe indirizzarmi verso una direzione per capire come risolvere problemi di questo tipo?
Grazie e scusatemi se non ho saputo fare di più da solo, chiedo solo una spintarella e poi provo a terminare da solo!
P.S. cosa intende per Rango?
Luca
Risposte
ho risolto l'ultimo esercizio che ho messo e a me viene $n> 500000$ mi veniva un segno meno 
mentre in questo $sqrt(2n+1)-sqrt(2n)<10^(-2)$ viene $n>1249.75$
mentre in questo $sqrt(2n+1)-sqrt(2n)<10^(-2)$ viene $n>1249.75$
con la stessa traccia di esercizi mi trovo a combattere anche contro di questo genere:
1)-$1/2-1/4+1/8+...+(-1)^(n+1)1/2^n < 7/16$
io ho pensato di procedere nel seguente modo: tenendo presente che quella è una serie geometrica di ragione $1/2$ sostituisco e mi diventa $(1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2) < 7/16$
svolgendo tutti i calcoli non riesco mai a trovare una soluzione che mettendo al posto di $n$ nella formula $(1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2) $ mi diventi $<7/16$
1)-$1/2-1/4+1/8+...+(-1)^(n+1)1/2^n < 7/16$
io ho pensato di procedere nel seguente modo: tenendo presente che quella è una serie geometrica di ragione $1/2$ sostituisco e mi diventa $(1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2) < 7/16$
svolgendo tutti i calcoli non riesco mai a trovare una soluzione che mettendo al posto di $n$ nella formula $(1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2) $ mi diventi $<7/16$
"johack":
ho risolto l'ultimo esercizio che ho messo e a me viene $n> 500000$ mi veniva un segno meno
mentre in questo $sqrt(2n+1)-sqrt(2n)<10^(-2)$ viene $n>1249.75$
... che è quello che si è detto prima ...
"johack":
... tenendo presente che quella è una serie geometrica di ragione $1/2$ ...
A me la ragione sembra $-1/2$ ...
Cordialmente, Alex
Comunque quella successione è equivalente ad una che abbia ragione uguale a $1/4$ cioè $1/4+1/16+1/64+1/256+...$, quindi ...
puoi spiegarti meglio?xkè è $-1$ e $1/4$?
La ragione è $-1/2$ semplicemente perché si chiama "ragione" il rapporto tra due termini consecutivi della successione: prova e vedrai che è vero 
Quella successione è equivalente a quella di ragione $+1/4$ perché se prendi i primi due termini vedrai che $1/2-1/4=1/4$ e poi i due successivi fanno $1/8-1/16=1/16$ il quale è pari a $(1/4)^2$ e così via ...
Ah, fai attenzione quando la calcoli che manca il termine iniziale cioè $(1/4)^0=1$ ...
Quella successione è equivalente a quella di ragione $+1/4$ perché se prendi i primi due termini vedrai che $1/2-1/4=1/4$ e poi i due successivi fanno $1/8-1/16=1/16$ il quale è pari a $(1/4)^2$ e così via ...
Ah, fai attenzione quando la calcoli che manca il termine iniziale cioè $(1/4)^0=1$ ...
mi dispiace ma non riesco a capire, quindi il mio ragionamento iniziale, quello di sostituire la formula per calcolare l'n-esimo termine, non è giusto?
Per ottenere la somma parziale di una successione numerica si usa quella formula se la ragione è minore di $1$, ed è questa $S_n=a*(1-r^n)/(1-r)$ dove $r$ è la ragione ed $a$ è il termine iniziale (cioè quando $r^0$).
Nel nostro caso non c'è ne $a$ ne il termine iniziale quindi va sottratto $1$ da quella formula.
Se utilizzi la successione che ti ho suggerito ottieni, per esempio per $n=5$, che $S_5=0.332031$.
Nel nostro caso non c'è ne $a$ ne il termine iniziale quindi va sottratto $1$ da quella formula.
Se utilizzi la successione che ti ho suggerito ottieni, per esempio per $n=5$, che $S_5=0.332031$.
mi dispiace ma continuo a nn capire, scusami, ma veramente nn ci riesco!!
cerco di fare un riassunto di quello che mi hai detto...
la 1) è uguale a $(1/4)^n$ giusto? quindi non devo applicare la formula che ho scritto io cioè questa $(1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2)$
ma bensì quella che mi hai detto tu, $S_n = a* (1-r^n)/(1-r)$, alla serie $(1/4)^n$
cerco di fare un riassunto di quello che mi hai detto...
la 1) è uguale a $(1/4)^n$ giusto? quindi non devo applicare la formula che ho scritto io cioè questa $(1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2)$
ma bensì quella che mi hai detto tu, $S_n = a* (1-r^n)/(1-r)$, alla serie $(1/4)^n$
E' equivalente, non uguale, inoltre manca il termine $(1/4)^0$ e questo significa che quando applichi quella formula devi sottrarlo dal risultato (che significa sottrarre $1$); nel nostro caso non abbiamo $a$ o meglio $a=1$ che è come dire che non c'è. ok?
come faccio la verifica??
guarda un mio amico lha risolta così:
http://uptiki.altervista.org/viewer.php ... zgizff.jpg
guarda un mio amico lha risolta così:
http://uptiki.altervista.org/viewer.php ... zgizff.jpg
Con Excel 
... ma anche a mano ... non devi calcolare tanti termini, già dopo 5 o 6 si vede a cosa tende ... e comunque, fin da subito è inferiore a $7/16$ .....
... ma anche a mano ... non devi calcolare tanti termini, già dopo 5 o 6 si vede a cosa tende ... e comunque, fin da subito è inferiore a $7/16$ .....
"johack":
come faccio la verifica??
guarda un mio amico lha risolta così:
http://uptiki.altervista.org/viewer.php ... zgizff.jpg
Ma quella è un'altra, però ...
si si è un altro esercizio simile a quello che ti ho detto, ma lui trova un n che sostituendo nella formula per calcolare l'n-esimo termine esce che è inferiore di 1.9999
ho veramente le idee confuse e non so come fare!!
... e tu fai lo stesso partendo da quella formula ... cioè abbiamo detto che $(1-(1/4)^n)/(1-1/4)-1 < 7/16$ ==> $(1-(1/4)^n)/(3/4) < 7/16 + 1$ ==> $1-(1/4)^n < (23/16)*(3/4)$ ==> $1- 69/64 < -(1/4)^n$ ==> $- 5/64 < -(1/4)^n$ ==> $5/64 > (1/4)^n$ ==> $5/64>1/4^n$ ==> $4^n > 64/5$ ==> $log_4(4^n) >log_4( 64/5)$ ==> $n>log_4(64/5)$ ==> $n>1.839$
Dovrebbe essere corretto ...
Dovrebbe essere corretto ...
xkè hai messo $(1-(1/4)^n)/(1-1/4)$ e non $(1-(1/4)^(n+1))/(1-1/4)$?
Dunque ...
$(1-r^n)/(1-r)=r^0+r^1+r^2+...+r^(n-1)$; il membro a destra dell'uguaglianza è una somma parziale di una serie geometrica, come nel nostro caso, quindi ...
In pratica, nel nostro caso non è importante usare una o l'altra; l'importante è usare correttamente il risultato che trovi ...
$(1-r^n)/(1-r)=r^0+r^1+r^2+...+r^(n-1)$; il membro a destra dell'uguaglianza è una somma parziale di una serie geometrica, come nel nostro caso, quindi ...
In pratica, nel nostro caso non è importante usare una o l'altra; l'importante è usare correttamente il risultato che trovi ...
ho provato a calcolare questa altra serie: $(-1)^(n+1)1/3^n$ ottengo che la ragione è $-1/3$ manca il termine $n=0$ quindi $-1$ e ho che è equivalente a $-2/3^n$, è il risultato finale è $0.106$
Scusami, ma dovresti essere un po' più chiaro nei tuoi post; cioè non riesco a capire bene qual è l'obiettivo che vuoi raggiungere: vuoi calcolare una somma parziale? risolvere una disequazione con una successione? Non riesco sempre a capire bene quello che vuoi ottenere ... per esempio in quest'ultimo caso, quel numero è il risultato finale di che cosa?
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