Determinare termine generale di una successione
Salve a tutti, sto studiando Metodi Matematici per l'ingegneria ed ho un problema sulle Successioni definite per ricorrenza, quelle risolte con la Z-trasformata. Il mio problema è definire il termine generale della successione che mi viene proposta.
Vi faccio un esempio:
$\a_n = {(1 if n-pari), ((-1)^n/(2)^n if n-dispari):}$
Per poter applicare la Z-Trasformata ho bisogno del termine generale di $a_n$ che valga $AA n$:
$X(z)=\sum_{n=0}^\infty\a_n(z)^-n$
Come faccio a trovare questo termine? grazie mille a tutti per l'aiuto
Vi faccio un esempio:
$\a_n = {(1 if n-pari), ((-1)^n/(2)^n if n-dispari):}$
Per poter applicare la Z-Trasformata ho bisogno del termine generale di $a_n$ che valga $AA n$:
$X(z)=\sum_{n=0}^\infty\a_n(z)^-n$
Come faccio a trovare questo termine? grazie mille a tutti per l'aiuto
Risposte
Io lo farei ad occhio. Hai un numeratore che è $(-1)^n$ e un denominatore che "va e viene", cioè il suo esponente è $0$ per $n$ pari ed $n$ per $n$ dispari. Prova prima a semplificare il problema. Sapresti trovare una successione definita esplicitamente che "lampeggia", cioè che vale $0$ per i termini pari ed una quantità finita fissa per i termini dispari? Ovvero, sapresti descrivere esplicitamente il termine generico della successione:
$\a_n = {(1 if n-pari), (0 if n-dispari):}$
?
$\a_n = {(1 if n-pari), (0 if n-dispari):}$
?
Il mio problema è proprio "il farlo ad occhio". Diciamo che non ho tempo di star lì 10-20 minuti a decidere quale sia il termine generale. Per la successione che hai proposto mi viene in mente di piazzarci il modulo del coseno... no?
Prova a postare un esempio di esercizio in cui non riesci a determinare \(a(n)\).
$a_n={(2n,if n-pari),(2n+1,if n-dispari):}$
sarebbe la successione:$ {0,3,4,7,8,11,12,15,16,19,20,...}$. Per trovare il termine generale dovrò sempre andare ad intuito tentando anche un po?
sarebbe la successione:$ {0,3,4,7,8,11,12,15,16,19,20,...}$. Per trovare il termine generale dovrò sempre andare ad intuito tentando anche un po?
Beh, qui non ha molto da tentare, perché la successione \(a_n\) è già assegnata in forma esplicita.
Il problema, casomai, è calcolarne la trasformata zeta... Ma il calcolo è comunque semplice: infatti, dato che \(a_n\) è assegnata distinguendo i casi "\(n\) pari" ed "\(n\) dispari", conviene spezzare la serie che definisce la trasformata nella somma fatta sugli addendi pari ed in quella fatta sugli addendi dispari.
In particolare, hai:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[a_n](z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{z^n}\\
&= \sum_{n \text{ pari}} \frac{a_n}{z^n} + \sum_{n \text{ dispari}} \frac{a_n}{z^n}\; ;
\end{split}
\]
visto che i numeri pari sono nella forma \(n=2k\) per \(k\in \mathbb{N}\) ed i numeri dispari sono nella forma \(n=2k+1\) con \(k\in \mathbb{N}\) (per fugare ogni dubbio, dico che io immagino sempre \(0\in \mathbb{N}\)), è chiaro che con un'opportuna sostituzione di variabile le due serie all'ultimo membro della precedente catena si riscrivono:
\[
\begin{split}
\sum_{n \text{ pari}} \frac{a_n}{z^n} &\stackrel{n=2k}{=} \sum_{k=0}^\infty \frac{a_{2k}}{z^{2k}}\\
\sum_{n \text{ dispari}} \frac{a_n}{z^n} &\stackrel{n=2k+1}{=} \sum_{k=0}^\infty \frac{a_{2k+1}}{z^{2k+1}} \; ;
\end{split}
\]
dalla definizione di \((a_n)\) segue che:
\[
\begin{split}
a_{2k} &= 2(2k) =4k\\
a_{2k+1} &= 2(2k+1)+1 = 4k+3
\end{split}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
\sum_{n \text{ pari}} \frac{a_n}{z^n} &\stackrel{n=2k}{=} \sum_{k=0}^\infty \frac{4k}{z^{2k}}\\
\sum_{n \text{ dispari}} \frac{a_n}{z^n} &\stackrel{n=2k+1}{=} \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{z^{2k+1}}
\end{split}
\]
ed infine:
\[
\mathcal{Z}[a_n](z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{4k}{z^{2k}} + \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{z^{2k+1}}\; .
\]
Quindi il calcolo della trasformata zeta di \((a_n)\) si riduce al calcolo della somma delle ultime due serie scritte sopra.
P.S.: Ferone o Chiacchio?
Il problema, casomai, è calcolarne la trasformata zeta... Ma il calcolo è comunque semplice: infatti, dato che \(a_n\) è assegnata distinguendo i casi "\(n\) pari" ed "\(n\) dispari", conviene spezzare la serie che definisce la trasformata nella somma fatta sugli addendi pari ed in quella fatta sugli addendi dispari.
In particolare, hai:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[a_n](z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{z^n}\\
&= \sum_{n \text{ pari}} \frac{a_n}{z^n} + \sum_{n \text{ dispari}} \frac{a_n}{z^n}\; ;
\end{split}
\]
visto che i numeri pari sono nella forma \(n=2k\) per \(k\in \mathbb{N}\) ed i numeri dispari sono nella forma \(n=2k+1\) con \(k\in \mathbb{N}\) (per fugare ogni dubbio, dico che io immagino sempre \(0\in \mathbb{N}\)), è chiaro che con un'opportuna sostituzione di variabile le due serie all'ultimo membro della precedente catena si riscrivono:
\[
\begin{split}
\sum_{n \text{ pari}} \frac{a_n}{z^n} &\stackrel{n=2k}{=} \sum_{k=0}^\infty \frac{a_{2k}}{z^{2k}}\\
\sum_{n \text{ dispari}} \frac{a_n}{z^n} &\stackrel{n=2k+1}{=} \sum_{k=0}^\infty \frac{a_{2k+1}}{z^{2k+1}} \; ;
\end{split}
\]
dalla definizione di \((a_n)\) segue che:
\[
\begin{split}
a_{2k} &= 2(2k) =4k\\
a_{2k+1} &= 2(2k+1)+1 = 4k+3
\end{split}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
\sum_{n \text{ pari}} \frac{a_n}{z^n} &\stackrel{n=2k}{=} \sum_{k=0}^\infty \frac{4k}{z^{2k}}\\
\sum_{n \text{ dispari}} \frac{a_n}{z^n} &\stackrel{n=2k+1}{=} \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{z^{2k+1}}
\end{split}
\]
ed infine:
\[
\mathcal{Z}[a_n](z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{4k}{z^{2k}} + \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{z^{2k+1}}\; .
\]
Quindi il calcolo della trasformata zeta di \((a_n)\) si riduce al calcolo della somma delle ultime due serie scritte sopra.
P.S.: Ferone o Chiacchio?
Trombetti 
la moglie di Ferone.
Grazie mille per la risposta e la spiegazione, a questo punto devo ricredermi sulla strategia di applicazione. Io avrò sempre $a_n$ scritta in forma esplicita, per esempio per multipli di o differenziati fra pari e dispari. È applicando la trasformata zeta ed effettuando il cambio di variabile che aggiusto il tutto. Un'ultima cosa, se per caso avessi una $f(z)$ con un modulo, per esempio $|n-4|$ ho che i primi 4 termini si tolgono dalla sommatoria della trasformata-z effettuando il cambio di variabile. Avrò quindi i primi termini che saranno $a_n z^0 + a_n z^-1 + a_n z^-2 + a_n z^-3 + sum_{m=0}^infty a_m*z^-(m+4)$ giusto? grazie mille
la moglie di Ferone.Grazie mille per la risposta e la spiegazione, a questo punto devo ricredermi sulla strategia di applicazione. Io avrò sempre $a_n$ scritta in forma esplicita, per esempio per multipli di o differenziati fra pari e dispari. È applicando la trasformata zeta ed effettuando il cambio di variabile che aggiusto il tutto. Un'ultima cosa, se per caso avessi una $f(z)$ con un modulo, per esempio $|n-4|$ ho che i primi 4 termini si tolgono dalla sommatoria della trasformata-z effettuando il cambio di variabile. Avrò quindi i primi termini che saranno $a_n z^0 + a_n z^-1 + a_n z^-2 + a_n z^-3 + sum_{m=0}^infty a_m*z^-(m+4)$ giusto? grazie mille
L'idea è giusta, ma l'hai scritta male.
La serie che risulta è:
\[
a_0 + a_1\ z^{-1} + a_2\ z^{-2} + a_3 z^{-3} + \sum_{m=0}^\infty a_{m+4}\ z^{-m-4}\; .
\]
P.S.: Ah, la Cri... In bocca al lupo.
La serie che risulta è:
\[
a_0 + a_1\ z^{-1} + a_2\ z^{-2} + a_3 z^{-3} + \sum_{m=0}^\infty a_{m+4}\ z^{-m-4}\; .
\]
P.S.: Ah, la Cri... In bocca al lupo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo