Determinare max, min, inf e sup di un insieme
Salve a tutti, mi ritrovo ad affrontare analisi ex novo ed oggi a lezione mi sono imbattuto in questo esercizio:
Sia $A={ (-1)^n*(n-1)/n}$ con $ n in NN-{0}$
Dando dei valori arbitrari ad $(-1)^n*(n-1)/n$ ottengo che:
$A={0,1/2,-2/3,3/4,-4/5,5/6...}$
Posso dire che $text{inf(A)}=-1$ e $text{sup(A)}=1$ perché per $x->+infty$, $(-1)^n*(n-1)/n$ assume valori $-1$ o $1$ e posso anche escludere che $text{min(A)}=-1$ e $text{max(A)}=1$ poiché questi 2 valori non appartengono ad $A$?
Sia $A={ (-1)^n*(n-1)/n}$ con $ n in NN-{0}$
Dando dei valori arbitrari ad $(-1)^n*(n-1)/n$ ottengo che:
$A={0,1/2,-2/3,3/4,-4/5,5/6...}$
Posso dire che $text{inf(A)}=-1$ e $text{sup(A)}=1$ perché per $x->+infty$, $(-1)^n*(n-1)/n$ assume valori $-1$ o $1$ e posso anche escludere che $text{min(A)}=-1$ e $text{max(A)}=1$ poiché questi 2 valori non appartengono ad $A$?
Risposte
Innanzitutto ti consiglio di analizzare le due sottosuccessioni (quella dei termini positivi e quella dei negativi) separatamente. Detto ciò, potrai parlare di sup e di inf, ma non di min e di max perché otterrai qualcosa che non appartiene alla successione.
In ogni caso il risultato va bene.
Paola
In ogni caso il risultato va bene.
Paola
Grazie, in effetti studiare le due sottosuccessioni è decisamente più corretto 
Si può fare tutto in maniera semplice senza usare le successioni.
Innanzitutto nota che per ogni \(x\in A\) si ha \(|x|<1\), quindi \(A\) è limitato e \(-1\leq \inf A\leq \sup A\leq 1\).
D'altra parte \(\pm 1\notin A\), per via della disuguaglianza stretta.
Ora, vogliamo far vedere che \(1=\sup A\).
La prima proprietà dell'estremo superiore è verificata (addirittura con disuguaglianza stretta), quindi basta far vedere che vale la seconda proprietà dell'estremo superiore, i.e. che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \xi \in A:\ 1-\xi <\varepsilon\; .
\]
Per fare ciò, fissiamo \(\varepsilon >0\) piccolo e dobbiamo risolvere in \(A\) la disequazione \(x>1-\varepsilon\). Il secondo membro è positivo, quindi è chiaro che le soluzioni della nostra disequazione sono da ricercarsi in \(A\cup ]0,\infty[\), ossia tra gli elementi del tipo \(\frac{2h-1}{2h} \in A\) (che si ottengono per \(n=2h\) pari). Ma è:
\[
\frac{2h-1}{2h}>1-\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad 2h -1> (1-\varepsilon )2h \quad \Leftrightarrow \quad 2\varepsilon\ h > 1
\]
quindi, dato che \(h\) è naturale, basta scegliere \(h= [1/2\varepsilon] +1\) (dove \([\cdot]\) è la parte intera) per ottenere \(1-\xi = 1-\frac{2h-1}{2h} <\varepsilon\).
Quindi \(1\) soddisfa tutte le proprietà caratteristiche dell'estremo superiore e perciò \(\sup A=1\).
Analogamente \(\inf A=-1\).
Da ciò e da quanto notato all'inizio segue immediatamente che \(A\) non ha né massimo né minimo.
Innanzitutto nota che per ogni \(x\in A\) si ha \(|x|<1\), quindi \(A\) è limitato e \(-1\leq \inf A\leq \sup A\leq 1\).
D'altra parte \(\pm 1\notin A\), per via della disuguaglianza stretta.
Ora, vogliamo far vedere che \(1=\sup A\).
La prima proprietà dell'estremo superiore è verificata (addirittura con disuguaglianza stretta), quindi basta far vedere che vale la seconda proprietà dell'estremo superiore, i.e. che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \xi \in A:\ 1-\xi <\varepsilon\; .
\]
Per fare ciò, fissiamo \(\varepsilon >0\) piccolo e dobbiamo risolvere in \(A\) la disequazione \(x>1-\varepsilon\). Il secondo membro è positivo, quindi è chiaro che le soluzioni della nostra disequazione sono da ricercarsi in \(A\cup ]0,\infty[\), ossia tra gli elementi del tipo \(\frac{2h-1}{2h} \in A\) (che si ottengono per \(n=2h\) pari). Ma è:
\[
\frac{2h-1}{2h}>1-\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad 2h -1> (1-\varepsilon )2h \quad \Leftrightarrow \quad 2\varepsilon\ h > 1
\]
quindi, dato che \(h\) è naturale, basta scegliere \(h= [1/2\varepsilon] +1\) (dove \([\cdot]\) è la parte intera) per ottenere \(1-\xi = 1-\frac{2h-1}{2h} <\varepsilon\).
Quindi \(1\) soddisfa tutte le proprietà caratteristiche dell'estremo superiore e perciò \(\sup A=1\).
Analogamente \(\inf A=-1\).
Da ciò e da quanto notato all'inizio segue immediatamente che \(A\) non ha né massimo né minimo.
Non avrei mai pensato ad una soluzione di questo tipo, grazie mille anche a te, provo a scrivere io il caso per $text{inf(A)}=-1$ domani
"Obidream":
:shock: Non avrei mai pensato ad una soluzione di questo tipo
Perché no?
Quelli di questo tipo sono i primi esercizi che ho fatto per il corso di Analisi I, quando ancora non conoscevo nemmeno cos'era una successione. Tutto verteva sul provare che un dato numero (di cui bisognava farsi un'idea) godeva delle proprietà dell'estremo superiore/inferiore, cioè sul risolvere delle disequazioni.
Perciò per me questo è l'approccio più naturale a questo tipo di questioni.
"gugo82":
[quote="Obidream"]:shock: Non avrei mai pensato ad una soluzione di questo tipo
Perché no?
Quelli di questo tipo sono i primi esercizi che ho fatto per il corso di Analisi I, quando ancora non conoscevo nemmeno cos'era una successione. Tutto verteva sul provare che un dato numero (di cui bisognava farsi un'idea) godeva delle proprietà dell'estremo superiore/inferiore, cioè sul risolvere delle disequazioni.
Perciò per me questo è l'approccio più naturale a questo tipo di questioni.[/quote]
Capisco, si in effetti è uno dei primi esercizi, però essendo domande di quiz la prima idea che mi è venuta in mente è stata quella di cercare un metodo veloce, anche se grezzo e magari inappropriato ad uno scritto vero e proprio
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