Determinare massimi e minimi assoluti

[lepre561]

$f(x,y)=x^3+y^3-3xy+1$ $D={(x,y)in RR^2 : x>=0; y>=0; x^2+y^2<=1}$

Se io ho questa funzione è possibile che il punto $A(1,1)$ che non appartiene al dominio sia di minimo assoluto?

[Luca.Lussardi]

Il fatto che sia di minimo assoluto per $f$ su $D$ è un'affermazione priva di significato.

[lepre561]

"arnett":No:


2) poiché per questa funzione il punto $(1, 1)$ non è di minimo assoluto.

Perché non è di minimo assoluto a me viene che la funzione viene 0 e non ho trovato altri punti che ammettano un valore più basso

[lepre561]

"Luca.Lussardi":Il fatto che sia di minimo assoluto per $f$ su $D$ è un'affermazione priva di significato.

In che senso?

[pilloeffe]

Ciao lepre561,

"lepre561":Perché non è di minimo assoluto a me viene che la funzione viene 0 e non ho trovato altri punti che ammettano un valore più basso

Beh, in realtà anche $B(0, - 1) $ e $C(- 1,0) $ oltre ad $A(1,1) $ forniscono il valore $ 0 $, ma su $ D = \RR^2 $ ad esempio, non se $D $ è quello che hai scritto nell'OP:

"lepre561":$f(x,y)=x^3+y^3−3xy+1 \quad D = {(x,y) \in \RR^2 : x \ge 0; y \ge 0; x^2+y^2 \le 1} $

[lepre561]

"pilloeffe":Ciao lepre561,
[quote="lepre561"]Perché non è di minimo assoluto a me viene che la funzione viene 0 e non ho trovato altri punti che ammettano un valore più basso

Beh, in realtà anche $B(0, - 1) $ e $C(- 1,0) $ oltre ad $A(1,1) $ forniscono il valore $ 0 $, ma su $ D = \RR^2 $ ad esempio, non se $D $ è quello che hai scritto nell'OP:

"lepre561":$f(x,y)=x^3+y^3−3xy+1 \quad D = {(x,y) \in \RR^2 : x \ge 0; y \ge 0; x^2+y^2 \le 1} $

[/quote]


Quindi ricapitolando se il punto $A$ fosse stato interno al mio dominio sarebbe stato di minimo assoluto... Viceversa non appartenendo ad esso non può essere considerato tale...giusto?

[pilloeffe]

"lepre561":Quindi ricapitolando se il punto A fosse stato interno al mio dominio sarebbe stato di minimo assoluto...

Sarei più propenso per minimo relativo, altrimenti si dovrebbe ammettere che la funzione $z = f(x,y) = x^3+y^3-3xy+1 $ non assuma mai valori negativi, ciò che invece è falso perché lo fa per $ y < - x - 1 $
Nel caso del dominio citato all'inizio $ D = {(x,y) \in RR^2 : x >=0 ; y>=0 ; x^2+y^2 <= 1} $ invece si ha $ min_{(x, y) \in D} f(x,y) > 0 $, infatti si ha:

$ x^3+y^3-3xy+1 >= 0 $

$ x^3+y^3+1 >= 3xy $

$ \frac{x^3+y^3+1}{3} >= xy $

Quest'ultima è senz'altro vera perché si tratta della disuguaglianza $ AM >= GM $ applicata a $ x^3 $, $y^3 $ e $1^3 = 1 $:

$ AM(x^3, y^3, 1^3) >= GM(x^3, y^3, 1^3) = \root[3]{x^3 \cdot y^3 \cdot 1^3} = xy $