Determinare l'ordine di un infinitesimo
Ciao, devo determinare l'ordine di infinitesimo per $x->0$ e la parte principale di $log(1+sinx)-log(1+x)+x-sinx$. Il risultato del libro è $x^4/6+o(x^4)$.
Ho proceduto così:
$Lim_(x->0)(log(1+sinx)/x^k)-Lim_(x->0)(log(x+1)/x^k)+Lim_(x->0)x/x^k-Lim_(x->0)sinx/x^k$
Ho calcolato gli ordini dei vari pezzi e mi torna che l'ordine di ciascuno è $1$. Come mai torna $x^4/6+o(x^4)$?
Grazie.
Ho proceduto così:
$Lim_(x->0)(log(1+sinx)/x^k)-Lim_(x->0)(log(x+1)/x^k)+Lim_(x->0)x/x^k-Lim_(x->0)sinx/x^k$
Ho calcolato gli ordini dei vari pezzi e mi torna che l'ordine di ciascuno è $1$. Come mai torna $x^4/6+o(x^4)$?
Grazie.
Risposte
forse il risultato del libro si riferisce alla parte principale dopo che hai sviluppato in serie tutti i termini
Correggimi se sbaglio: se il risultato del libro, riguardo la parte principale, è $x^4/6+o(x^4)$, questo non siginifica che l'ordine è $4$?
Sì, significa che l'ordine di infinitesimo di quella funzione è 4.
Il punto è che, sebbene tutti gli addendi di quella funzione siano infinitesimi del primo ordine, sommandosi e sottraendosi l'uno con l'altro "si elidono a vicenda" [passatemi la trattazione a spanne] ed entrano in gioco i termini di grado superiore, che a questo punto faranno la differenza.
Infatti, se tu fai il limite del rapporto tra la tua funzione ed $x$ ottieni zero come risultato, giusto? Perché si approssimano tutti quanti ad $1$ ed ottieni $1-1+1-1=0$.
Se conosci gli sviluppi di taylor è un gioco da ragazzi, altrimenti devi andare di De l'Hôpital per conoscere il grado, ma poi non so se riesci a far venir fuori la parte principale!
Il punto è che, sebbene tutti gli addendi di quella funzione siano infinitesimi del primo ordine, sommandosi e sottraendosi l'uno con l'altro "si elidono a vicenda" [passatemi la trattazione a spanne] ed entrano in gioco i termini di grado superiore, che a questo punto faranno la differenza.
Infatti, se tu fai il limite del rapporto tra la tua funzione ed $x$ ottieni zero come risultato, giusto? Perché si approssimano tutti quanti ad $1$ ed ottieni $1-1+1-1=0$.
Se conosci gli sviluppi di taylor è un gioco da ragazzi, altrimenti devi andare di De l'Hôpital per conoscere il grado, ma poi non so se riesci a far venir fuori la parte principale!
Con il programma sono proprio ora alla formula di Taylor. Ancora, esercizi sui limiti usando la formula di Taylor, non sono stati fatti. Tuttavia, guardando gli esempi fatti sul libro, non capisco come si fa a decidere/capire, a quale termine arrestarsi.
Per esempio: per $x->0$, per calcolare l'ordine di infinitesimo e la p.p. di $sinx-xcos(x/sqrt3)$, il libro arresta lo sviluppo del seno al quinto grado e quello del coseno al quarto. Dice inoltre "...non è immediato decidere a priori a quale termine arrestarsi, in quanto si possono avere cancellazioni dei primi termini...". Non capisco questa frase.
Per esempio: per $x->0$, per calcolare l'ordine di infinitesimo e la p.p. di $sinx-xcos(x/sqrt3)$, il libro arresta lo sviluppo del seno al quinto grado e quello del coseno al quarto. Dice inoltre "...non è immediato decidere a priori a quale termine arrestarsi, in quanto si possono avere cancellazioni dei primi termini...". Non capisco questa frase.
«I don't know how that sentence could possibly confuse you» [cit.]
Scherzi a parte, quella frase significa esattamente quello che c'è scritto: non esiste una regola per decidere a quale termine fermarsi; l'importante è che rimanga almeno un termine che non sia cancellato.
Ti faccio un esempio:
devo sviluppare [tex]f(x) = x - \sin x[/tex] nell'intorno di [tex]x=0[/tex].
[tex]x[/tex] è già un polinomio, quindi lo lascio stare;
[tex]\sin x[/tex] lo sviluppo come [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^k \frac{(-1)^{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1} + o(x^{2k+1})}[/tex] [se la memoria non fa cilecca]
In altre parole, posso avere che
[tex]\displaystyle \sin x = x + o(x)[/tex]
[tex]\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)[/tex]
[tex]\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5)[/tex]
Ora prendo la mia funzione [tex]\displaystyle f(x)=x-\sin x[/tex] e sostituisco.
Se uso il primo sviluppo ottengo [tex]\displaystyle f(x)=x-x + o(x) = o(x)[/tex] che non ha alcun significato per quello che ci interessa.
Col secondo arrivo a [tex]\displaystyle f(x)=x-x + \frac{x^3}{3!} + o(x^3) = \frac{x^3}{3!} + o(x^3)[/tex] che va bene, e la parte principale è quella che rimane, e ti dice anche l'ordine di infinitesimo.
Col terzo rimane [tex]\displaystyle f(x)=x - x + \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + o(x^5) = \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + o(x^5)[/tex] che ci dà la stessa informazione di prima, più il termine di grado [tex]5[/tex], che però a noi non interessa.
In questo esempio hai visto che c'è un numero "minimo sindacale" di termini che ti servono per avere l'informazione che cerchi; sviluppare più termini non dà grandi vantaggi, ma allunga i conti e basta. Il punto è svilupparne "abbastanza" affinché non ti rimangano solo gli o-piccoli, perché con altre funzioni potrebbero elidersi molti più termini che in questo caso.
Comunque è una cosa che si impara con l'esperienza!
Spero di essere stato chiaro
Scherzi a parte, quella frase significa esattamente quello che c'è scritto: non esiste una regola per decidere a quale termine fermarsi; l'importante è che rimanga almeno un termine che non sia cancellato.
Ti faccio un esempio:
devo sviluppare [tex]f(x) = x - \sin x[/tex] nell'intorno di [tex]x=0[/tex].
[tex]x[/tex] è già un polinomio, quindi lo lascio stare;
[tex]\sin x[/tex] lo sviluppo come [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^k \frac{(-1)^{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1} + o(x^{2k+1})}[/tex] [se la memoria non fa cilecca]
In altre parole, posso avere che
[tex]\displaystyle \sin x = x + o(x)[/tex]
[tex]\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)[/tex]
[tex]\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5)[/tex]
Ora prendo la mia funzione [tex]\displaystyle f(x)=x-\sin x[/tex] e sostituisco.
Se uso il primo sviluppo ottengo [tex]\displaystyle f(x)=x-x + o(x) = o(x)[/tex] che non ha alcun significato per quello che ci interessa.
Col secondo arrivo a [tex]\displaystyle f(x)=x-x + \frac{x^3}{3!} + o(x^3) = \frac{x^3}{3!} + o(x^3)[/tex] che va bene, e la parte principale è quella che rimane, e ti dice anche l'ordine di infinitesimo.
Col terzo rimane [tex]\displaystyle f(x)=x - x + \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + o(x^5) = \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + o(x^5)[/tex] che ci dà la stessa informazione di prima, più il termine di grado [tex]5[/tex], che però a noi non interessa.
In questo esempio hai visto che c'è un numero "minimo sindacale" di termini che ti servono per avere l'informazione che cerchi; sviluppare più termini non dà grandi vantaggi, ma allunga i conti e basta. Il punto è svilupparne "abbastanza" affinché non ti rimangano solo gli o-piccoli, perché con altre funzioni potrebbero elidersi molti più termini che in questo caso.
Comunque è una cosa che si impara con l'esperienza!
Spero di essere stato chiaro
Ti ringrazio molto. Un'altra domanda: non riesco a capire perché il termine con la $x$ di grado 5, non interessa.
Cioè: se ho per esempio $(x^2+o(x^2))*(x^(2/3)+o(x^2))$ perché viene $x^(8/3)+x^2o(x^(2/3))+x^(2/3)o(x^2)+o(x^(2+2/3))$? Ho notato che nella seconda parentesi $(x^(2/3)+o(x^2))$, al posto di $o(x^2)$ è stato messo $o(x^(2/3))$. Coma mai?
Grazie.
"Raptorista":
Col terzo rimane [tex]\displaystyle f(x)=x - x + \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + o(x^5) = \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + o(x^5)[/tex] che ci dà la stessa informazione di prima, più il termine di grado [tex]5[/tex], che però a noi non interessa.
Cioè: se ho per esempio $(x^2+o(x^2))*(x^(2/3)+o(x^2))$ perché viene $x^(8/3)+x^2o(x^(2/3))+x^(2/3)o(x^2)+o(x^(2+2/3))$? Ho notato che nella seconda parentesi $(x^(2/3)+o(x^2))$, al posto di $o(x^2)$ è stato messo $o(x^(2/3))$. Coma mai?
Grazie.
Il termine di grado $5$ non ci interessa perché è trascurabile rispetto a quello di grado $3$; è come quando fai un limite a zero di un rapporto di polinomi e consideri solo, a numeratore e denominatore, i termini di grado più basso.
Per quanto riguarda il tuo esempio.. Non saprei, non vedo una ragione evidente al momento.. Magari al passaggio prima è sbagliato il secondo o-piccolo? Boh!
Per quanto riguarda il tuo esempio.. Non saprei, non vedo una ragione evidente al momento.. Magari al passaggio prima è sbagliato il secondo o-piccolo? Boh!
L'esercizio chiedeva di trovare l'ordine di $f(x)*phi(x)$.
$f(x)=sinx^2+x^3$
$phi(x)=1-cosx+x^(2/3)$
I passaggi che sono stati fatti sono: $(x^2+o(x^2)+x^3)*(x^2/2+o(x^2)+x^(2/3))$
$=(x^2+o(x^2))(x^(2/3)+o(x^2))$
$=x^(8/3)+x^2o(x^(2/3))+x^(2/3)o(x^2)+o(x^(2+2/3))$
$f(x)=sinx^2+x^3$
$phi(x)=1-cosx+x^(2/3)$
I passaggi che sono stati fatti sono: $(x^2+o(x^2)+x^3)*(x^2/2+o(x^2)+x^(2/3))$
$=(x^2+o(x^2))(x^(2/3)+o(x^2))$
$=x^(8/3)+x^2o(x^(2/3))+x^(2/3)o(x^2)+o(x^(2+2/3))$
Ritornando all'esercizio iniziale,
ho provato ad usare la formula di Taylor. Ho sviluppato:
$log(1+sinx)$ al terzo grado;
$log(1+x)$ al quarto grado;
$sinx$ al terzo grado.
Lo sviluppo di $log(1+sinx)$ è $x-x^2/2+x^3/6+o(x^3)$, quindi ottengo
$x-x^2/2+x^3/6+o(x^3)-x+1/2x^2-1/3x^3+1/4x^4+o(x^4)+x-x+1/6x^3+o(x^3)$
Mi verrebbe da concludere che la $p.p.$ fosse $1/4x^4$, ma è sbagliato.
"Mirino06":
Ciao, devo determinare l'ordine di infinitesimo per $x->0$ e la parte principale di $log(1+sinx)-log(1+x)+x-sinx$. Il risultato del libro è $x^4/6+o(x^4)$.
Grazie.
ho provato ad usare la formula di Taylor. Ho sviluppato:
$log(1+sinx)$ al terzo grado;
$log(1+x)$ al quarto grado;
$sinx$ al terzo grado.
Lo sviluppo di $log(1+sinx)$ è $x-x^2/2+x^3/6+o(x^3)$, quindi ottengo
$x-x^2/2+x^3/6+o(x^3)-x+1/2x^2-1/3x^3+1/4x^4+o(x^4)+x-x+1/6x^3+o(x^3)$
Mi verrebbe da concludere che la $p.p.$ fosse $1/4x^4$, ma è sbagliato.
Hai sbagliato lo sviluppo di log(1+sen(x)), infatti se sviluppi il seno che "sta dentro" a un'altra funzione che poi svilupperai, devi arrivare al terzo grado con lo sviluppo del seno se vuoi sviluppare quella fuori al terzo grado! Viene un po' complicato xkè hai mille termini che poi si trascurano, se stai molto attento puoi evitare di incasinarti troppo la vita individuando subito l'o piccolo meno preciso!
Ho provato a sviluppare $log(1+sinx)$ facendo le derivate e mi torna $x-1/2x^2+1/6x^3+o(x^3)$; il mio risultato combacia con questo http://www.google.it/url?sa=t&source=we ... iQ&cad=rja
"Mirino06":
I passaggi che sono stati fatti sono: $(x^2+o(x^2)+x^3)*(x^2/2+o(x^2)+x^(2/3))$
$=(x^2+o(x^2))(x^(2/3)+o(x^2))$
Sopprimere [tex]x^3[/tex] nella prima parentesi va bene, sopprimere [tex]\displaystyle \frac{x^2} 2[/tex] nella seconda invece non mi piace.. Magari il risultato viene lo stesso, però non si potrebbe fare..
Per il resto, se non ho fatto male i conti, dovrebbe rimanere [tex]\displaystyle x^{\frac 8 3} +o(x^{\frac 8 3})[/tex].
Esercizio seguente: Lo sviluppo di [tex]\displaystyle \ln(1 + \sin x)[/tex] è giusto ma non è abbastanza preciso.
Infatti alla fine, quando sostituisci, ti rimane [tex]\displaystyle \frac {x^4}{4} + o(x^3) = o(x^3)[/tex] che non ci serve. Questo significa che devi tornare indietro e sviluppare fino ad [tex]\displaystyle o(x^4)[/tex] tutti quanti i tuoi termini.
Approfitto di questo topic per postare domande su questo tipo di esercizi.
Devo calcolare l'ordine di infinitesimo e la $p.p.$ di $f(x)=(e^x-1+ln(1-x))/(tgx-x)$, per $x->0$. Usando Taylor, sono arrivato a scrivere $f(x)=(-1/6x^3+o(x^3))/(1/3x^3+o(x^3))$. La $p.p.$ è $-1/2x^3$?
Devo calcolare l'ordine di infinitesimo e la $p.p.$ di $f(x)=(e^x-1+ln(1-x))/(tgx-x)$, per $x->0$. Usando Taylor, sono arrivato a scrivere $f(x)=(-1/6x^3+o(x^3))/(1/3x^3+o(x^3))$. La $p.p.$ è $-1/2x^3$?
A questo forse riesci ad arrivare anche da solo!
Qual è la definizione di "parte principale"?
Qual è la definizione di "parte principale"?
1)
La parte principale è [tex]l[/tex]$*[g(x)]^k$, dove [tex]l[/tex] è il valore del limite e deve essere $!=0$.
In questo caso, [tex]l[/tex] presumo sia $-1/2$, ma mi blocca $[g(x)]^k$.
2)
Perdonami, ma non riesco a caprie questa cosa.
La parte principale è [tex]l[/tex]$*[g(x)]^k$, dove [tex]l[/tex] è il valore del limite e deve essere $!=0$.
In questo caso, [tex]l[/tex] presumo sia $-1/2$, ma mi blocca $[g(x)]^k$.
2)
"Raptorista":
Il termine di grado $5$ non ci interessa perché è trascurabile rispetto a quello di grado $3$; è come quando fai un limite a zero di un rapporto di polinomi e consideri solo, a numeratore e denominatore, i termini di grado più basso.
Perdonami, ma non riesco a caprie questa cosa.
"Mirino06":
1)
La parte principale è [tex]l[/tex]$*[g(x)]^k$, dove [tex]l[/tex] è il valore del limite e deve essere $!=0$.
In questo caso, [tex]l[/tex] presumo sia $-1/2$, ma mi blocca $[g(x)]^k$.
E poi? $l$ è il valore del limite, e chi è $g(x)$?
2)
"Mirino06":
Perdonami, ma non riesco a capire questa cosa.
Cos'è che non hai capito? :S
1)$g(x)$ forse è $x^3$.
2) Se io ho $(x^2+o(x^2)+x^3)$, non capisco perché è lecito fare $(x^2+o(x^2))$.
Grazie.
2) Se io ho $(x^2+o(x^2)+x^3)$, non capisco perché è lecito fare $(x^2+o(x^2))$.
Grazie.
Nel punto 2, quel passaggio è lecito perché [tex]$x^3$[/tex] è un [tex]$o(x^2)$[/tex] e sai che [tex]$o(x^2)+o(x^2)=o(x^2)$[/tex].
Mi puoi dire se ho capito: se ho $x^4/4+o(x^3)$, questo è uguale a $o(x^3)$, perché $x^4=o(x^3)$ quindi ottengo $o(x^3)+o(x^3)$ che è uguale a $o(x^3)$. È giusto?
Esatto: gli o-piccoli funzionano un po' come un muro o un filtro, assorbono tutto ciò che passa oltre.
Passo ad un esempio concreto: prendi lo sviluppo: [tex]e^x = 1 + x + \frac{x^2} {2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)[/tex].
A questo punto sommi allo sviluppo di prima il monomio [tex]x^5[/tex]. Cosa succede?
Il tuo monomio [tex]x^5 = o(x^3)[/tex], mentre l'[tex]o(x^3)[/tex] che c'è nello sviluppo è una generica funzione che tende a zero più in fretta di [tex]x^3[/tex], ad esempio potrebbe essere [tex]x^6[/tex].
A questo punto tu hai, sommando tutto, [tex]\underbrace{1 + x + \frac{x^2} {2!} + \frac{x^3}{3!}}_{\textrm{Stesso di prima}} + \underbrace{x^6 + x^5}_{\textrm{Infinitesimi}[/tex] in cui il secondo pezzo è, a sua volta, [tex]o(x^3)[/tex] e che quindi ti risulta in [tex]1 + x + \frac{x^2} {2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)[/tex].
Rileggendolo mi rendo conto che non è così chiaro, però ormai l'ho scritto
Passo ad un esempio concreto: prendi lo sviluppo: [tex]e^x = 1 + x + \frac{x^2} {2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)[/tex].
A questo punto sommi allo sviluppo di prima il monomio [tex]x^5[/tex]. Cosa succede?
Il tuo monomio [tex]x^5 = o(x^3)[/tex], mentre l'[tex]o(x^3)[/tex] che c'è nello sviluppo è una generica funzione che tende a zero più in fretta di [tex]x^3[/tex], ad esempio potrebbe essere [tex]x^6[/tex].
A questo punto tu hai, sommando tutto, [tex]\underbrace{1 + x + \frac{x^2} {2!} + \frac{x^3}{3!}}_{\textrm{Stesso di prima}} + \underbrace{x^6 + x^5}_{\textrm{Infinitesimi}[/tex] in cui il secondo pezzo è, a sua volta, [tex]o(x^3)[/tex] e che quindi ti risulta in [tex]1 + x + \frac{x^2} {2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)[/tex].
Rileggendolo mi rendo conto che non è così chiaro, però ormai l'ho scritto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo