Determinare l'intervallo dell'immagine di f(x,y)

[davidcape1]

$ f(x,y)=2xy-3x^2 $ $ D=[(x,y)inR^2:abs(y)<=1] $ determinare l'intervallo dell'immagine.

SVOLGIMENTO
1) Disegno il dominio D

2)Ricerco i punti critici ponendo uguale a zero il gradiente della funzione
$ nabla(f)=( ( 2y-6x ),( 2y ) )=0 $ da cui $ P=(0,0) $ è punto critico della funzione. Sfortunatamente P cade internamente al dominio, quindi non proseguo su questa strada.
3)Dato che una funzione lineare ha massimo e minimo per forza nei vertici dei poligoni che formano il dominio, sostituisco
$ y=1 $ e $ y=-1 $ in $ f(x,y) $ e successivamente derivo. In questo modo trovo le coordinate $ x $ dei punti che appartengono alla frontiera del domino che mi daranno i valori estremi dell'immagine.

$ g(1)=2x-3x^2 $ $ g'(1)=2-6x $ da cui $ x=1/3 $ e quindi $ P_1=(1/3;1) $
$ g(-1)=-2x-3x^2 $ $ g'(-1)=-2-6x $ da cui $ x=-1/3 $ e quindi $ P_1=(-1/3;-1) $
e per simmetria
$ P_3=(1/3;-1) $ e $ P_4=(-1/3;1) $


4)Sostituisco $ P_1 $ ,$ P_2 $ ,$ P_3 $ ,$ P_4 $ in $ f(x,y) $ e trovo gli estremi dell'immagine
$f (P_1)=1/3 $;$f (P_2)=1/3 $;$f (P_3)=-1 $;$f (P_4)=-1 $

Pertanto $ im(f)in[-1;1/3] $ .

Qualcuno può dirmi se va bene procedere a questo modo?? Soprattutto se ci sono altre osservazioni da fare perchè l'ho capito abbastanza "meccanicamente" come fare (o meglio credo di averlo capito...). Grazie mille.

[Ziben]

Ciao,
Non credo che il tuo modo di procedere sia corretto o per lo meno qualche svista l'hai commessa dato che per $(x,y)=(1,0)$
si ha $f(1,0)= -3$ che di certo non appartiene all'immagine da te calcolata.
Dato che $y$ è limitata ad assumere valori in $[-1,1]$ pensa a $y$ come a un parametro. Al variare dei piani $y=k$ la funzione è una parabola concava perciò inferiormente illimitata.

[davidcape1]

Non ho capito, potresti essere un po' più esplicito? Scusami ma questi esercizi mi sono davvero ostici...

[Ziben]

Vuoi calcolare l'immagine di $f(x,y)=2xy-3x^2$ considerando la sua restrizione su $D={(x,y) in R^2 : |y| \leq 1}$ che è una striscia di piano compresa fra le rette $y=-1$ e $y=1$. La funzione è continua. Per avere un'idea, impongo ad esempio $y=0$, vedo cioè cosa fa la funzione nel piano $y=0$. La $f$ diventa $f(x,0)=g(x)=-3x^2$, che è una parabola rivolta verso il basso. Essa non è inferiormente limitata dato che $Inf(g)=-\infty$. Allora di certo $f(D)$, che per vari motivi è un intervallo, non sarà inferiormente limitata. Porto avanti l'idea, notando che, fissato $y$, cioè sui piani $y=k$ con $k in [-1,1]$, la $f$ sarà sempre una parabola. Allora mi studio $f(x,k)=2xk-3x^2$ pesando cioè a $y$ come a un parametro (non ci sarebbe neanche bisogno di cambiare lettera) e guardo come varia la parabola al variare di $k in [-1,1]$. Concludo che $Im(f) = (-\infty,1/3]$.
Spero di essere stato più chiaro

[davidcape1]

si, adesso si, ti ringrazio infinitamente. E' crollato tutto il mio "sapere" pensavo fosse un procedimento giusto il mio...

[Ziben]

Prima di buttare tutto, nota che il mio modo di ragionare è contingente alla specifica funzione che ci si trova davanti. Purtroppo non conosco un "metodo universale" per poter calcolare l'immagine.