Determinare K in modo che f(x) ammetta primitive e determinale
Buon Ferragosto a tutti 
,
anche oggi mi servirebbe una mano con il seguente esercizio (è il primo che svolgo di questa tipologia, perdonate eventuali castronerie
):
Data
\( f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{arcsin(lnx-1)}{x} & 1\leqslant x\leqslant e^2 \\ 3x-k & 0\leq x< 1\end{matrix}\right. \)
1) Dire per quali valori del parametro k ammette primitive e determinarle.
2) Dire per quali valori del parametro k la funzione è Rienman integrabile (Non calcolare l'integrale).
Svolgimento
1) Poiché formata da funzioni continue e da loro composizioni, anche f(x) è continua, ad eccezione del punto di raccordo 1 su cui preliminarmente non possiamo concludere nulla.
Il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce l'esistenza di primitive per le funzioni che sono continue su tutto il proprio dominio, quindi dobbiamo imporre che la funzione sia continua in 1 eguagliando i limiti di f(x) per x->1+ e x->1-.
Cosi facendo otteniamo il nostro k e evitiamo in 1 discontinuità di salto.
$ \lim_{x \to 1^+}\frac{arcsin(lnx-1)}{x}=-\frac{\Pi}{2} $
$\lim_{x \to 1^-}3x-k=3-k $
\( 3-k=-\frac{\Pi}{2} \Rightarrow \) f ammette primitive per \( k=3+\frac{\Pi}{2} \)
I risultati dei seguenti integrali rappresentano le primitive della funzione f(x)
\( \int \frac{arcsin(lnx-1)}{x}dx=lnx-1+arcsin(lnx-1)+\sqrt{1-(lnx-1)^2}+c_{1} \)
\( \int (3x-3-\frac{\Pi}{2})dx=\frac{3}{2}x^2-\frac{\Pi}{2}x-3x+c_{2} \)
Giusto fin qua ?
2)
Non so da dove cominciare
. Qualche suggerimento?
,anche oggi mi servirebbe una mano con il seguente esercizio (è il primo che svolgo di questa tipologia, perdonate eventuali castronerie
):Data
\( f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{arcsin(lnx-1)}{x} & 1\leqslant x\leqslant e^2 \\ 3x-k & 0\leq x< 1\end{matrix}\right. \)
1) Dire per quali valori del parametro k ammette primitive e determinarle.
2) Dire per quali valori del parametro k la funzione è Rienman integrabile (Non calcolare l'integrale).
Svolgimento
1) Poiché formata da funzioni continue e da loro composizioni, anche f(x) è continua, ad eccezione del punto di raccordo 1 su cui preliminarmente non possiamo concludere nulla.
Il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce l'esistenza di primitive per le funzioni che sono continue su tutto il proprio dominio, quindi dobbiamo imporre che la funzione sia continua in 1 eguagliando i limiti di f(x) per x->1+ e x->1-.
Cosi facendo otteniamo il nostro k e evitiamo in 1 discontinuità di salto.
$ \lim_{x \to 1^+}\frac{arcsin(lnx-1)}{x}=-\frac{\Pi}{2} $
$\lim_{x \to 1^-}3x-k=3-k $
\( 3-k=-\frac{\Pi}{2} \Rightarrow \) f ammette primitive per \( k=3+\frac{\Pi}{2} \)
I risultati dei seguenti integrali rappresentano le primitive della funzione f(x)
\( \int \frac{arcsin(lnx-1)}{x}dx=lnx-1+arcsin(lnx-1)+\sqrt{1-(lnx-1)^2}+c_{1} \)
\( \int (3x-3-\frac{\Pi}{2})dx=\frac{3}{2}x^2-\frac{\Pi}{2}x-3x+c_{2} \)
Giusto fin qua ?
2)
Non so da dove cominciare
. Qualche suggerimento?
Risposte
Nessuno può aiutarmi ? 
ciao FM93!
A me la prima parte sembra essere corretta e fatta anche bene
No ho solo capito come tu abbia fatto a calcolare il primo dei due integrali... è difficilissimo!!!
Sulla seconda parte non saprei aiutarti invece...
A me la prima parte sembra essere corretta e fatta anche bene
No ho solo capito come tu abbia fatto a calcolare il primo dei due integrali... è difficilissimo!!!
Sulla seconda parte non saprei aiutarti invece...
ok grazie
In realtà non è molto difficile, diciamo che è un po' macchinoso.
Bisogna integrare prima per sostituzione, poi per parti e infine sfruttare un integrale notevole.
"mazzarri":
No ho solo capito come tu abbia fatto a calcolare il primo dei due integrali... è difficilissimo!!!
In realtà non è molto difficile, diciamo che è un po' macchinoso.
Bisogna integrare prima per sostituzione, poi per parti e infine sfruttare un integrale notevole.
Ci sarebbero tre criteri per l'integrabilità secondo Riemann se non li ricordo male dicono :
Se una funzione $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ è limitata e monotona allora f è integrabile in $[a,b]$.
Se una funzione $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ è continua allora f è integrabile in $[a,b]$.
Sia $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ limitata con un numero finito di punti di discontinuità, allora f è integrabile.
Oppure ci sarebbe la definizione con le somme superiori e inferiori ma non credo che tu debba usare quella è laboriosa e non saprei come applicarla sinceramente...
Se una funzione $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ è limitata e monotona allora f è integrabile in $[a,b]$.
Se una funzione $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ è continua allora f è integrabile in $[a,b]$.
Sia $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ limitata con un numero finito di punti di discontinuità, allora f è integrabile.
Oppure ci sarebbe la definizione con le somme superiori e inferiori ma non credo che tu debba usare quella è laboriosa e non saprei come applicarla sinceramente...
Grazie anche a te per la risposta
Ci sto ragionando su, vediamo se riesco a tirarne fuori qualcosa
Comunque sai dirmi se lo svolgimento della prima parte è corretto?
"dan95":
Ci sarebbero tre criteri per l'integrabilità secondo Riemann se non li ricordo male dicono :
Se una funzione $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ è limitata e monotona allora f è integrabile in $[a,b]$.
Se una funzione $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ è continua allora f è integrabile in $[a,b]$.
Sia $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ limitata con un numero finito di punti di discontinuità, allora f è integrabile.
Oppure ci sarebbe la definizione con le somme superiori e inferiori ma non credo che tu debba usare quella è laboriosa e non saprei come applicarla sinceramente...
Ci sto ragionando su, vediamo se riesco a tirarne fuori qualcosa
Comunque sai dirmi se lo svolgimento della prima parte è corretto?
Si ma considera che le primitive devono essere di classe $C^1([0,e^2])$ quindi continue, le costanti $c_{1}, c_{2}$ devono essere scelte con questa condizione. Inoltre se usiamo il terzo criterio citato la funzione è limitata e ha al più un punto di discontinuità dunque sarà $\forall k \in RR$ integrabile...
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