Determinare intervallo di convergenza
Ciao a tutti,
ho alcuni problemi a determinare l'intervallo di convergenza di una serie di potenze del tipo $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$
La serie in questione è $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(n+1)2^n}$, io ho proceduto così:
si ha che $a_n=\frac{1}{(n+1)2^n}$ e applicando il teorema di d'Alembert si ha che
$lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)2^n}{(n+2)2^{n+1}}=\frac{1}{2}$ e dunque il raggio di convergenza è $r=2$ e quindi la serie converge per $|x|<2$
Adesso per determinare l'intervallo di convergenza, devo vedere cosa succede agli estremi vero? cioè quando $x=2$ e $x=-2$.
Se $x=2$ ho che $\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{(n+1)2^n}=\frac{1}{n+1}$ che è la serie armonica che è divergente.
Se $x=-2$ si ha che $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{(n+1)2^n}$ che è una serie a segni alterni che converge.
Quindi si ha che l'intervallo di convergenza è dato da $[-2,2)$
E' giusto procedere così, o ci sono altre strade da seguire?
Un'altra cosa, come faccio a dire a cosa converge la serie (in questo caso nel caso di $x=2$)?
ho alcuni problemi a determinare l'intervallo di convergenza di una serie di potenze del tipo $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$
La serie in questione è $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(n+1)2^n}$, io ho proceduto così:
si ha che $a_n=\frac{1}{(n+1)2^n}$ e applicando il teorema di d'Alembert si ha che
$lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)2^n}{(n+2)2^{n+1}}=\frac{1}{2}$ e dunque il raggio di convergenza è $r=2$ e quindi la serie converge per $|x|<2$
Adesso per determinare l'intervallo di convergenza, devo vedere cosa succede agli estremi vero? cioè quando $x=2$ e $x=-2$.
Se $x=2$ ho che $\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{(n+1)2^n}=\frac{1}{n+1}$ che è la serie armonica che è divergente.
Se $x=-2$ si ha che $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{(n+1)2^n}$ che è una serie a segni alterni che converge.
Quindi si ha che l'intervallo di convergenza è dato da $[-2,2)$
E' giusto procedere così, o ci sono altre strade da seguire?
Un'altra cosa, come faccio a dire a cosa converge la serie (in questo caso nel caso di $x=2$)?
Risposte
Dunque anch'io sto studiando le serie di funzioni in questo periodo. Quello che si può dire sulle serie di potenze centrate in $ 0 $ che hai indicato è che convergono assolutamente (cioè in modo puntuale converge la serie dei moduli) in $ |x|r $ inoltre convergono in ogni compatto interno all'insieme di convergenza $ [-r',r'] $ con $ r'
Sul bordo il teorema di Abel dice che se c'è convergenza puntuale in $ -r $ allora c'è convergenza uniforme da $ [-r,0] $ (analogamente per l'estremo di destra). La convergenza assoluta sul bordo non è ovvia ma è da verificare discutendo la serie dei moduli.
Per cui $ [-2,2) $ è l'intervallo di convergenza semplice, $ (-2,2) $ di quella assoluta (puoi verificare che in -2 non c'è convergenza assoluta), $ [-2,r'] $ con $ r'<2 $ quello di convergenza uniforme (c'è poi anche la convergenza totale che è l'analogo uniforme di quella assoluta).
Per quando riguarda a cosa converge la serie nel caso $ x=2 $ ti sei risposto da solo, ovvero la serie non converge, poi sai che è a termini positivi e quindi monotona crescente, non può essere indeterminata e dunque diverge a $ +infty $
Ora per la somma a me viene in mente $ -log(1-x)=sum_(n=0)^infty x^(n+1)/(n+1) $ in $ |x|<1 $ (se non erro anche in $ -1 $ c'è convergenza a $ -log2 $ ).
Quindi scrivendo per $ x!=0 $ questo: $ x/2*2/x*sum_(n=0)^infty(x/2)^n/(n+1)=2/x*sum_(n=0)^infty(x/2)^(n+1)/(n+1)=-2log(1-x/2)/x $ che dovrebbe essere lecito, visto che hai diviso la variabile per due, in $ |x|<2 $ e $ x=-2 $ ; in $ 0 $ come puoi verificare tale funzione è prolungabile con continuità e vale $ 1 $, lo stesso valore della serie di partenza valutata puntualmente in $ 0 $
Più in generale non puoi sapere a cosa converga una serie (se fossimo in grado di calcolarne a priori la somma sarebbe facile capire dove convergono) ma ci sono delle serie che hanno somma nota, come la serie geometrica, altre le puoi ricavare dagli sviluppi di McLaurin, come $ e^x=sum_(n=0)^infty x^n/(n!) $ valida per ogni $ x $ reale.
Potrei aver fatto errori considerando che non ho ancora finito l'argomento.
PS: Aggiungo un altro risultato sempre del teorema di Abel, se la serie converge in un punto del bordo allora la somma in quel punto si trova calcolando il limite verso quel punto della mia somma che deve essere continua essendovi uniformemente convergente. In questo caso è sfruttato proprio per capire quanto vale $ -log(1-x)=sum_(n=0)^infty x^(n+1)/(n+1) $ in $ x=-1 $ calcoli: $ lim_(x -> -1^+) -log(1-x)=-log2 $
Sul bordo il teorema di Abel dice che se c'è convergenza puntuale in $ -r $ allora c'è convergenza uniforme da $ [-r,0] $ (analogamente per l'estremo di destra). La convergenza assoluta sul bordo non è ovvia ma è da verificare discutendo la serie dei moduli.
Per cui $ [-2,2) $ è l'intervallo di convergenza semplice, $ (-2,2) $ di quella assoluta (puoi verificare che in -2 non c'è convergenza assoluta), $ [-2,r'] $ con $ r'<2 $ quello di convergenza uniforme (c'è poi anche la convergenza totale che è l'analogo uniforme di quella assoluta).
Per quando riguarda a cosa converge la serie nel caso $ x=2 $ ti sei risposto da solo, ovvero la serie non converge, poi sai che è a termini positivi e quindi monotona crescente, non può essere indeterminata e dunque diverge a $ +infty $
Ora per la somma a me viene in mente $ -log(1-x)=sum_(n=0)^infty x^(n+1)/(n+1) $ in $ |x|<1 $ (se non erro anche in $ -1 $ c'è convergenza a $ -log2 $ ).
Quindi scrivendo per $ x!=0 $ questo: $ x/2*2/x*sum_(n=0)^infty(x/2)^n/(n+1)=2/x*sum_(n=0)^infty(x/2)^(n+1)/(n+1)=-2log(1-x/2)/x $ che dovrebbe essere lecito, visto che hai diviso la variabile per due, in $ |x|<2 $ e $ x=-2 $ ; in $ 0 $ come puoi verificare tale funzione è prolungabile con continuità e vale $ 1 $, lo stesso valore della serie di partenza valutata puntualmente in $ 0 $
Più in generale non puoi sapere a cosa converga una serie (se fossimo in grado di calcolarne a priori la somma sarebbe facile capire dove convergono) ma ci sono delle serie che hanno somma nota, come la serie geometrica, altre le puoi ricavare dagli sviluppi di McLaurin, come $ e^x=sum_(n=0)^infty x^n/(n!) $ valida per ogni $ x $ reale.
Potrei aver fatto errori considerando che non ho ancora finito l'argomento.
PS: Aggiungo un altro risultato sempre del teorema di Abel, se la serie converge in un punto del bordo allora la somma in quel punto si trova calcolando il limite verso quel punto della mia somma che deve essere continua essendovi uniformemente convergente. In questo caso è sfruttato proprio per capire quanto vale $ -log(1-x)=sum_(n=0)^infty x^(n+1)/(n+1) $ in $ x=-1 $ calcoli: $ lim_(x -> -1^+) -log(1-x)=-log2 $
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