Determinare il carattere della serie.
Salve ragazzi, ho la seguente serie
$ n^(1/3)*(sen(1/(3n))-(1+1/n)^(1/3)+1) $
Presuppongo che qui bisogna usare il criterio degli infinitesimi e se ho ragione devo sviluppare il seno e $ (1+1/n)^(1/3)$, ma come svilupparlo? Grazie.
$ n^(1/3)*(sen(1/(3n))-(1+1/n)^(1/3)+1) $
Presuppongo che qui bisogna usare il criterio degli infinitesimi e se ho ragione devo sviluppare il seno e $ (1+1/n)^(1/3)$, ma come svilupparlo? Grazie.
Risposte
prova a determinare il carattere della serie:\[ \sum_{n=1}^\infty\,\,\left(n-\sin n\right)\left(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right)\]
La serie è a termini positivi. Uso il criterio degli infinitesimi, questa volta non posso procedere come l'altro limite perchè nella prima parentesi ho dei termini che tendono all'infinito; quindi faccio una piccola sostituzione ponendo $y=1/n$ in questo modo il limite mi diviene:
$lim y->0+ (1/y - sen(1/y))*(y - sen(y)) = (1/y - 1/y + 1/(6y^3))*(y - y + y^(3)/6)= 1/(6y^(3))* y^3/6 = 1/36$
Quindi essendo il limite diverso da 0 e grado di infinitesimo (si dice così?) uguale a 0, la nostra serie diverge. (L'unico dubbio che mi rimane è che se io continuassi all'infinito a sviluppare la y si semplificherebbe sempre, quindi mi sembra strano. Aspetto tue risposte
$lim y->0+ (1/y - sen(1/y))*(y - sen(y)) = (1/y - 1/y + 1/(6y^3))*(y - y + y^(3)/6)= 1/(6y^(3))* y^3/6 = 1/36$
Quindi essendo il limite diverso da 0 e grado di infinitesimo (si dice così?) uguale a 0, la nostra serie diverge. (L'unico dubbio che mi rimane è che se io continuassi all'infinito a sviluppare la y si semplificherebbe sempre, quindi mi sembra strano. Aspetto tue risposte
Si tratta di una serie a termini positivi, in quanto
\begin{align*}
n-\sin n>0 \,\,\,\Leftrightarrow\,\,\, \sin n< n,\,\,\, \forall n\in \mathbb{N};\qquad\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}>0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\sin\frac{1}{n}<\frac{1}{n},\,\,\, \forall n \in \mathbb{N};
\end{align*}
osservando che, grazie alla disuguaglianza triangolare, si ha
\begin{align*}|n-\sin n|<|n|+|\sin n|
il termine generale della serie data si può confrontare con:
\begin{align*}
\left(n-\sin n\right)\left(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right)&<\left(n+1 \right)\left(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right)
\end{align*}
osservando poi che
\begin{align*} \frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n} \stackrel{\bf(T)}{\sim}\frac{1}{n}- \frac{1}{n}+\frac{1}{6n^3}=\frac{1}{6n^3}, \,\,\,n\to+\infty,\end{align*}
hai:
\begin{align*}
\left(n-\sin n\right)\left(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right)&<\left(n+1 \right)\left(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right)\sim\left(n+1 \right)\left(\frac{1}{6n^3} \right)=\frac{n+1}{6n^3}\\
&<\frac{n+n}{6n^3}=\frac{2n}{6n^3}=\frac{ 1}{ 3n^2} <\frac{ 1}{ n^2}
\end{align*}
allora la serie data converge per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente maggiore di uno.
\begin{align*}
n-\sin n>0 \,\,\,\Leftrightarrow\,\,\, \sin n< n,\,\,\, \forall n\in \mathbb{N};\qquad\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}>0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\sin\frac{1}{n}<\frac{1}{n},\,\,\, \forall n \in \mathbb{N};
\end{align*}
osservando che, grazie alla disuguaglianza triangolare, si ha
\begin{align*}|n-\sin n|<|n|+|\sin n|
il termine generale della serie data si può confrontare con:
\begin{align*}
\left(n-\sin n\right)\left(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right)&<\left(n+1 \right)\left(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right)
\end{align*}
osservando poi che
\begin{align*} \frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n} \stackrel{\bf(T)}{\sim}\frac{1}{n}- \frac{1}{n}+\frac{1}{6n^3}=\frac{1}{6n^3}, \,\,\,n\to+\infty,\end{align*}
hai:
\begin{align*}
\left(n-\sin n\right)\left(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right)&<\left(n+1 \right)\left(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right)\sim\left(n+1 \right)\left(\frac{1}{6n^3} \right)=\frac{n+1}{6n^3}\\
&<\frac{n+n}{6n^3}=\frac{2n}{6n^3}=\frac{ 1}{ 3n^2} <\frac{ 1}{ n^2}
\end{align*}
allora la serie data converge per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente maggiore di uno.
Mmm...
partendo dal presupposto che per ora non ci arriverei a tale ragionamento, avrei bisogno di molta più esperienza. Però mi sta sorgendo una domanda. Io ho usato il criterio degli infinitesimi notando che la "y" si sarebbe sempre semplificata. Se mi succede una cosa del genere posso concludere che non è il criterio giusto da usare?
partendo dal presupposto che per ora non ci arriverei a tale ragionamento, avrei bisogno di molta più esperienza. Però mi sta sorgendo una domanda. Io ho usato il criterio degli infinitesimi notando che la "y" si sarebbe sempre semplificata. Se mi succede una cosa del genere posso concludere che non è il criterio giusto da usare?
non ho mica fatto miracoli, solo la disuguaglianza triangolore e lo sviluppo di Taylor 
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