Determinare il carattere della serie.
Salve ragazzi, ho la seguente serie
$ n^(1/3)*(sen(1/(3n))-(1+1/n)^(1/3)+1) $
Presuppongo che qui bisogna usare il criterio degli infinitesimi e se ho ragione devo sviluppare il seno e $ (1+1/n)^(1/3)$, ma come svilupparlo? Grazie.
$ n^(1/3)*(sen(1/(3n))-(1+1/n)^(1/3)+1) $
Presuppongo che qui bisogna usare il criterio degli infinitesimi e se ho ragione devo sviluppare il seno e $ (1+1/n)^(1/3)$, ma come svilupparlo? Grazie.
Risposte
la prima cosa da fare, per poter applicare il criterio del confronoto asintotico è assicusrasri che la serie sia a termini positi...
"Noisemaker":
la prima cosa da fare, per poter applicare il criterio del confronoto asintotico è assicusrasri che la serie sia a termini positi...
Cioè quelli che sono stati lasciati per strada?
Cmq io direi di si. Perchè un +1 finale che al più si semplifica con $-(1+1/n)^(1/3)$ ed il seno alla fine ci assicura la non negatività. Giusto?
"ciampax":
[quote="Noisemaker"]la prima cosa da fare, per poter applicare il criterio del confronoto asintotico è assicusrasri che la serie sia a termini positi...
Cioè quelli che sono stati lasciati per strada?
[/quote]
l'artrite mi sa che comincia a farsi sentire! 
si ..., il seno oscilla in prossimità dello zero e per $n>1/(3\pi)$ risulta definitivamente positivo; $(1+1/n)^(1/3)$ è senz'altro positivo e maggiore di uno per $n>0,$ la costante $1$ non influenza , quindi la serie è a segno definitivamente negativo, e in quanto tale possiamo trattarla come una serie a termini positivi, o meglio come una serie di segno costate, e quindi tutti i criteri per le serie a termini positivi si possono applicare
Bene noise, il mio problema principale è che non so applicare il criterio degli infinitesimi molto bene e non risco a procedere. O meglio, in classe la prof ha usato taylor per scriversi il seno come polinomio. Posso far lo stesso adesso? Se si, c'è uno sviluppo per $(1+1/n)^(1/3)$?
il problema principale è sapere prima quando poterlo applicare il criterio (degli infinitesimi) asintotico; ricorda il limite notevole
\[\sin x\sim x,\qquad (1+x)^{\beta}-1\sim\beta x,\qquad \beta\in \mathbb{R},\qquad x\to 0\]
e vedi se è sufficiente per stabilire il carattere di quella serie
\[\sin x\sim x,\qquad (1+x)^{\beta}-1\sim\beta x,\qquad \beta\in \mathbb{R},\qquad x\to 0\]
e vedi se è sufficiente per stabilire il carattere di quella serie
Ho pensato una cosa
Se faccio il limite $(1+1/n)^(1/3)$ è uguale a 1, quindi lo elimino con il +1. Di conseguenza mi rimane solo $sen(1/(3n))$. Qui posso usare lo sviluppo di taylor (?) e scriverlo come $1/(3n)$ ottenendo $n^(1/3)/(3n)$ e mi determino l'infinitesimo della serie e il limite! Giusto?
Se faccio il limite $(1+1/n)^(1/3)$ è uguale a 1, quindi lo elimino con il +1. Di conseguenza mi rimane solo $sen(1/(3n))$. Qui posso usare lo sviluppo di taylor (?) e scriverlo come $1/(3n)$ ottenendo $n^(1/3)/(3n)$ e mi determino l'infinitesimo della serie e il limite! Giusto?
non puoi fare il limite di un pezzo e basta del termine generale; se vuoi procedere con il calcolo del limite avresti
\[\lim_{n\to +\infty}n^{1/3}\left(\sin \frac{1}{3n}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/3}+1\right)=+\infty(0-1+1)=\infty\cdot 0\]
che risulta essere una forma indeterminata
\[\lim_{n\to +\infty}n^{1/3}\left(\sin \frac{1}{3n}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/3}+1\right)=+\infty(0-1+1)=\infty\cdot 0\]
che risulta essere una forma indeterminata
Aspettate che posto la mia nuova soluzione 
allora hai che, mettendo in evidenza il meno:
\begin{align}n^{1/3}\left(\sin\frac{1}{3n}- \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/3}-1\right]\right) \sim n^{1/3}\left(\frac{1}{3n}-\frac{1}{3n}\right)\end{align}
e quindi cosa deduci?
\begin{align}n^{1/3}\left(\sin\frac{1}{3n}- \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/3}-1\right]\right) \sim n^{1/3}\left(\frac{1}{3n}-\frac{1}{3n}\right)\end{align}
e quindi cosa deduci?
$n^(1/3)*(sen(1/(3n)-(1+1/n)^(1/3)+1)$
Adesso... il seno è approssimabile a $1/(3n) - 1/(162*n^3)$
e $(1+1/n)^(1/3)$ è approssimabile a $1/(3n) - 1/(6*n^2)$
Adesso quindi ho
$n^(1/3)* (1-1+1/(3n)-1/(3n)+1/(6n^2)-1/(162n^3)) = n^(1/3)/(6n^2)$ Giusto? Noise, dimmi di si xD In pratica ho usato taylor andando avanti nell sviluppo rispetto al tuo ultumo messaggio... Questo ne ho dedotto...
Adesso... il seno è approssimabile a $1/(3n) - 1/(162*n^3)$
e $(1+1/n)^(1/3)$ è approssimabile a $1/(3n) - 1/(6*n^2)$
Adesso quindi ho
$n^(1/3)* (1-1+1/(3n)-1/(3n)+1/(6n^2)-1/(162n^3)) = n^(1/3)/(6n^2)$ Giusto? Noise, dimmi di si xD In pratica ho usato taylor andando avanti nell sviluppo rispetto al tuo ultumo messaggio... Questo ne ho dedotto...
ma quel $162$ da dove esce?? cmq ci sei è quella la strada! 
Mi esce perchè sarebbe $ (1/(3n))^3/6$
"TheAnswer93":
Mi esce perchè sarebbe $ (1/(3n))^3/6$
non amo fare i conti ...quindi puoi concludere direi...
Quindi la serie diverge perchè ho limite= 1 e infinitesimo= -5/6. Grazie Noise, se un giorno ti trovi di passaggio a Napoli ti offro una pizza
ma no!!!! proprio sul più bello!
\begin{align}n^{1/3}\left(\sin\frac{1}{3n}- \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/3}-1\right]\right) \sim n^{1/3}\left(\frac{1}{3n}-\frac{1}{3!3^3n^3}-\frac{1}{3n}\right)=- \frac{n^{1/3}}{ C n^3}=- \frac{1}{ C }\cdot \frac{1}{ n^{8/3}} \end{align}
essendo $8/3>1$ la serie converge per confronto asintotico
\begin{align}n^{1/3}\left(\sin\frac{1}{3n}- \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/3}-1\right]\right) \sim n^{1/3}\left(\frac{1}{3n}-\frac{1}{3!3^3n^3}-\frac{1}{3n}\right)=- \frac{n^{1/3}}{ C n^3}=- \frac{1}{ C }\cdot \frac{1}{ n^{8/3}} \end{align}
essendo $8/3>1$ la serie converge per confronto asintotico
Mmmm... scusa Noise, ma non devo prendere in considerazione la n con l'esponente più basso? In questo caso io ho ancora $1/(6n^2)$ che mi esce fuori da $(1+1/n)^(1/3)$ e non si elimina...
si ma anche se fai come dici tu, e va bene viene $1/(n^{5/3})$ che converge
E' vero! Giusto ))) Cmq sei stato illumiante quando nel mex privato mi hai fatto notare che $1/(3n)$ tendeva a 0 e quindi posso usare taylor senza problemi ed in pratica tutti quelli che mette la prof si fanno così se si deve usare il criterio degli infinitesimi! ^_^
))) Cmq sei stato illumiante quando nel mex privato mi hai fatto notare che $1/(3n)$ tendeva a 0 e quindi posso usare taylor senza problemi ed in pratica tutti quelli che mette la prof si fanno così se si deve usare il criterio degli infinitesimi! ^_^
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