Determinare i valori dei parametri in un limite

[KatieP]

Salve. Ho il lim per x che tende a 0 di log(1-x)/x^3 + a/x + b/x^2 e devo trovare a e b in modo che il limite sia uguale a -1/3. Non ho idea di come approcciare l'esercizio, qualcuno può darmi un suggerimento? Devo ricondurmi a qualche limite notevole forse?

[francicko]

Raccogliendo a comun denominatore avremo:
$lim_(x->0)(log (1-x)+ax^2+bx)/x^3$ ,
$log (1-x)=-x-x^2/2-x^3/3+o (x^3) $, sostituendo si ha:
$(-x-x^2/2-x^3/3+ax^2+bx+o (x^3))/x^3$
Essendo che a denominatore ho solo l'infinitesimo $x^3$,
l'unico modo per avere come risultato un valore finito e' che si azzerino i termini in $x^2$ ed in $x $, a questo punto l'unica soluzione possibile e' $a=1/2$, ed $b=1$ , infatti sostituendo avremo:
$lim_(x->0)(log(1-x)+1/2x+x)/x^3$ $=lim_(x->0)(-x-x^2/2-x^3/3+1/2x^2+x+o(x^3))/x^3$ $=lim_(x->0)-x^3/(3x^3)=-1/3$
Quindi per avere un valore finito del limite devo coinvolgere termini successivi al primo termine in $x $ dello sviluppo di $log (1-x) $, pertanto l'uso dell' asintotico che equivale al limite notevole
e' insufficiente, bisogna necessariamente sviluppare con taylor $log (1-x) $ sino al grado $3$

[francicko]

Qualcuno cortesemente può controllare se la risposta che ho dato e'corretta?
Grazie!