Determinare i punti critici di una funzione implicita a due variabili
Salve a tutti,
ho provato a svolgere questo esercizio e volevo sapere se secondo voi il procedimento è giusto, siccome non sono in possesso della sua soluzione.
"Determinare i punti critici della funzione $z(x,y)>0$ specificando il valore che essa assume in detti punti, sapendo che $z(x,y)$ soddisfa la relazione implicita $(z^4+z^2)+x^4+y^4+1=0$
Poichè non sono in grado di esplicitarmi la $z$, ho pensato che la condizione necessaria affinchè un punto sia critico è che soddisfi questa relazione $\{(z_x=0),(z_y=0):}$, quindi, derivando parzialmente prima rispetto alla $x$ e poi rispetto alla $y$ mi trovo: $4z^3z_x+2zz_x+4x^3=0$ e $4z^3z_y+2zz_y+4y^3=0$ ed elimino ciò che viene moltiplicato per $z_x$ e per $z_y$, in quanto per la condizione necessaria sono nulli. Mi trovo così che l'unico punto critico è in $(0,0)$.
I miei dubbi sorgono ora in quanto non ho capito il motivo per cui l'esercizio mi diceva che $z(x,y)>0$, condizione che non ho mai sfruttato con questo ragionamento, e poi mi pare strano che sostituendo i valori $x=0,y=0$ nella funzione di partenza $z$ assuma un valore complesso.
Grazie per l'attenzione ciao!
ho provato a svolgere questo esercizio e volevo sapere se secondo voi il procedimento è giusto, siccome non sono in possesso della sua soluzione.
"Determinare i punti critici della funzione $z(x,y)>0$ specificando il valore che essa assume in detti punti, sapendo che $z(x,y)$ soddisfa la relazione implicita $(z^4+z^2)+x^4+y^4+1=0$
Poichè non sono in grado di esplicitarmi la $z$, ho pensato che la condizione necessaria affinchè un punto sia critico è che soddisfi questa relazione $\{(z_x=0),(z_y=0):}$, quindi, derivando parzialmente prima rispetto alla $x$ e poi rispetto alla $y$ mi trovo: $4z^3z_x+2zz_x+4x^3=0$ e $4z^3z_y+2zz_y+4y^3=0$ ed elimino ciò che viene moltiplicato per $z_x$ e per $z_y$, in quanto per la condizione necessaria sono nulli. Mi trovo così che l'unico punto critico è in $(0,0)$.
I miei dubbi sorgono ora in quanto non ho capito il motivo per cui l'esercizio mi diceva che $z(x,y)>0$, condizione che non ho mai sfruttato con questo ragionamento, e poi mi pare strano che sostituendo i valori $x=0,y=0$ nella funzione di partenza $z$ assuma un valore complesso.
Grazie per l'attenzione ciao!
Risposte
Tutta la funzione $z$ è a valori complessi altrimenti non ammette soluzioni. Il problema dice qualcosa a proposito ?
mmm..purtroppo no!
Ma comunque pensi che il procedimento sia giusto?
Ma comunque pensi che il procedimento sia giusto?
Prendi altri esercizi da qualche libro e studia su quelli.
ok, chiedevo qua proprio perchè non ne avevo trovati altri..grazie della tua risposta/domanda, ciao!
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