Derivate parziali
Sto studiandole derivate parziali e voglio convincermi formalmente del fatto che si possa derivare in una variabile.
L’idea è quella di considerare data $f:A->RR$ definita sull’aperto $AsubseteqRR^n$
Allora diremo che $f$ è derivabile parzialmente nel punto $x_0 inA$ lungo la direzione di $e_k$ se esiste, finito.
$lim_(h->0)(f(x_0+hvec(e_k))-f(x_0))/h$ E scriveremo $f_x(x_0)$
Considerato $A’={x inA|exists l inRR:lim_(h->0)(f(x_0+hvec(e_k))-f(x_0))/h=l}$
Si definisce $f_(x_k):A’->RR$ ponendo,
$f_(x_k)(x)=lim_(h->0)(f(x+hvec(e_k))-f(x))/h$
Ovviamente è ben posta poiché per prima cosa il limite se esiste è unico, inoltre sappiamo che per ogni elemento di quell’insieme il limite esiste, quindi è ben posta.
Fino a qui ci siamo, il problema viene quando devo calcolarle, che poi non è tanto un problema, nel senso, capirlo concettualmente.
si deve considerare che posto $x_0=(x_1,...,x_n)$ allora devo arrivare al fatto che $g(x)=f(x_0+(x-x_k)vec(e_k))$
Posto $B={x in RR|existsy inRR:f(x_0+(x-x_k)vec(e_k))=y}$
Si ha $g:B->RR$ tale che $f(x_0+(x-x_k)vec(e_k))=g(x), forallx inB$
Quindi si parla praticamente di derivare $g$?
L’idea è quella di considerare data $f:A->RR$ definita sull’aperto $AsubseteqRR^n$
Allora diremo che $f$ è derivabile parzialmente nel punto $x_0 inA$ lungo la direzione di $e_k$ se esiste, finito.
$lim_(h->0)(f(x_0+hvec(e_k))-f(x_0))/h$ E scriveremo $f_x(x_0)$
Considerato $A’={x inA|exists l inRR:lim_(h->0)(f(x_0+hvec(e_k))-f(x_0))/h=l}$
Si definisce $f_(x_k):A’->RR$ ponendo,
$f_(x_k)(x)=lim_(h->0)(f(x+hvec(e_k))-f(x))/h$
Ovviamente è ben posta poiché per prima cosa il limite se esiste è unico, inoltre sappiamo che per ogni elemento di quell’insieme il limite esiste, quindi è ben posta.
Fino a qui ci siamo, il problema viene quando devo calcolarle, che poi non è tanto un problema, nel senso, capirlo concettualmente.
si deve considerare che posto $x_0=(x_1,...,x_n)$ allora devo arrivare al fatto che $g(x)=f(x_0+(x-x_k)vec(e_k))$
Posto $B={x in RR|existsy inRR:f(x_0+(x-x_k)vec(e_k))=y}$
Si ha $g:B->RR$ tale che $f(x_0+(x-x_k)vec(e_k))=g(x), forallx inB$
Quindi si parla praticamente di derivare $g$?
Risposte
Non e' molto chiara la tua richiesta.
Dal punto di vista computazionale se vuoi calcolare \(\frac{\partial f}{\partial x_k} \) devi derivare \(f\) come se fosse funzione della sola variabile \(x_k\), cioe' \(x_k \mapsto f(x_1, \dots , x_k , \dots , x_n)\), e trattare le altre variabili come costanti.
Dal punto di vista computazionale se vuoi calcolare \(\frac{\partial f}{\partial x_k} \) devi derivare \(f\) come se fosse funzione della sola variabile \(x_k\), cioe' \(x_k \mapsto f(x_1, \dots , x_k , \dots , x_n)\), e trattare le altre variabili come costanti.
Il problema è che a livello computazionale ci siamo, il problema è, diciamo, ‘perché si può trattare come se le altre variabili fossero costanti’, o in termini migliori: perché posso derivare parzialmente $f$ come se fosse una funzione di una variabile?
Anto, sinceramente, non mi pare il caso. Ti accorgerai presto da solo che non c'è niente di profondo qua sotto.
Giusto una cosa vorrei dire: puoi considerare la restrizione di \(f\) a qualsiasi curva passante per \(x_0\), e questo ti dà una funzione di una sola variabile. Derivando questa funzione ottieni una derivata direzionale di \(f\). Quando tali curve sono quelle parallele agli assi, si parla di "derivata parziale", ma è una cosa solo di comodo, le derivate parziali sono solo particolari esempi di derivate direzionali. Non c'è altro da aggiungere. Dove il discorso diventa davvero interessante è nella geometria differenziale, non qui.
Giusto una cosa vorrei dire: puoi considerare la restrizione di \(f\) a qualsiasi curva passante per \(x_0\), e questo ti dà una funzione di una sola variabile. Derivando questa funzione ottieni una derivata direzionale di \(f\). Quando tali curve sono quelle parallele agli assi, si parla di "derivata parziale", ma è una cosa solo di comodo, le derivate parziali sono solo particolari esempi di derivate direzionali. Non c'è altro da aggiungere. Dove il discorso diventa davvero interessante è nella geometria differenziale, non qui.
Si diciamo che per ‘comodità’ ho pensato anche io a questa cosa, ora sono passato alle curve per poi passare al teorema che lega le derivate direzionali alla differenziabilitá.
[ot]il fatto è che quando all’universita hai professori dei tuoi corsi preferiti che copiano solo gli appunti alla lavagna, e tu vorresti di più, e ti riduci a studiare da solo giorno e notte per 8 ore sbattendo la testa su cose finendo interi quaderni di teoria ed esercizi, facendo tutte le dimostrazioni senza guardare il libro, diventa uno stress incontenibile.
Sono più le domande che mi pongo, che quelle a cui riesca a rispondere, visto che da ogni risposta sorgono nuove domande.
Vedo altri colleghi che studiano solo per andare avanti, senza magari aver contezza di ciò che fanno e io lascio 2 o 3 corsi indietro perché non voglio diventare ‘dottore in Matematica’ solo perché ho saputo fare qualche conto.
Il mio sogno è quello di lavorare in borsa, ma la mia passione per la matematica non la baratterei con nulla.[/ot]
Scusa lo sfogo, ma volevo trasmettere il motivo di alcune domande.
[ot]il fatto è che quando all’universita hai professori dei tuoi corsi preferiti che copiano solo gli appunti alla lavagna, e tu vorresti di più, e ti riduci a studiare da solo giorno e notte per 8 ore sbattendo la testa su cose finendo interi quaderni di teoria ed esercizi, facendo tutte le dimostrazioni senza guardare il libro, diventa uno stress incontenibile.
Sono più le domande che mi pongo, che quelle a cui riesca a rispondere, visto che da ogni risposta sorgono nuove domande.
Vedo altri colleghi che studiano solo per andare avanti, senza magari aver contezza di ciò che fanno e io lascio 2 o 3 corsi indietro perché non voglio diventare ‘dottore in Matematica’ solo perché ho saputo fare qualche conto.
Il mio sogno è quello di lavorare in borsa, ma la mia passione per la matematica non la baratterei con nulla.[/ot]
Scusa lo sfogo, ma volevo trasmettere il motivo di alcune domande.
Ma è normale, se uno vuole studiare seriamente è così. Non ti preoccupare
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