Derivate equilimitate.

[Ida1806]

ciao a tutti mi sono appena iscritta volevo sapere se qualcuno mi potesse spiegare il concetto di derivate equilimitate spiegato nel teorema di Bernstein secondo il quale se una funzione è derivabile infinitamente allora le derivate sono equilimitate dalla stessa costante...nn ho capito cosa si intende di preciso!grazie dell'attenzione ....

[Injo]

Significa che $\exists M \in \RR$ tale che l'estremo superiore sull'insieme di definizione di $(f^{(n)}) < M \forall n \in \NN$ dove con $f^{(n)}$ si intende la derivata $n$-esima.

[gugo82]

Questo teorema mi giunge nuovo.
Ovviamente dovrai avere un po' di condizioni buone sull'insieme di definizione della $f$ (tipo compattezza per lo meno).
Da che libro l'hai preso?

Come ha detto Injo, dire che le derivate di $f$ sono tutte equilimitate nell'insieme $X$ significa che:

$exists M>=0 :\ AA n\in NN,\ "sup"_(x\in X)|f^((n))(x)|<=M$

ossia (eliminando l'estremo superiore se non ti piace) significa che:

$exists M>=0:\ AA n\in NN,\ AAx \in X ,\ |f^((n))(x)|<=M$;

nota che qui $f^((n))(x)$ è la derivata $n$-esima di $f$ in $x$.


Poi, una nota terminologica: equilimitate vuol dire "limitate dalla stessa costante"* (che poi sarebbe la $M$ delle definizioni precedenti); quindi "equilimitate dalla stessa costante" non lo userei troppo.


__________
* Il suffisso equi- è dall'aggettivo latino aequus, che significa "uguale"; dallo stesso aggettivo deriva ovviamente il nostro "equo".