Derivate e retta tangente

[LicceS]

Ciao a tutti! Stavo svolgendo i temi d'esame di analisi e ho avuto dei grandissimi dubbi su due esercizi.
Trovare la derivata di:
√(e^x - 10x). Io ho provato a fare così: g(x)= (e^x-10x)^1/2. g'(x)= 1/2 e^1/2-1 - 10^1/2-1. g'(x)=1/(2e^2x) - 1/10^2, poi non so più proseguire.
E poi un altro esercizio in cui bisogna trovare la retta che nel punto x=0 è tangente al grafico della funzione
f(x)=sin(5x) - sin(2x). Qui ho impostato Xo=1 --> f(1)=sin5-sin2
f(x)-f(Xo)/x-Xo = [sin(5x)-sin(2x)-sin3]/x-1. Ho posto x=h+1 ed impostato il limite per h->0 [sin(5(1+h))-sin(2(1+h))-sin3]/h. E qua non so più come andare avanti. Grazie mille!

[Seneca1]

Benvenuto. Secondo il regolamento del forum devi riportare i tuoi tentativi.

[LicceS]

si si scusa, l'ho letto dopo fatto

[Brancaleone1]

Mettendo in formule quanto hai scritto viene:

$√(e^x - 10x)$
Io ho provato a fare così:
$g(x)= (e^x-10x)^1/2$
$g'(x)= 1/2 e^1/2-1 - 10^1/2-1$
$g'(x)=1/(2e^2x) - 1/10^2$
, poi non so più proseguire.

E poi un altro esercizio in cui bisogna trovare la retta che nel punto x=0 è tangente al grafico della funzione
$f(x)=sin(5x) - sin(2x)$.

Qui ho impostato Xo=1 --> $f(1)=sin5-sin2$
$f(x)-f(Xo)/x-Xo = [sin(5x)-sin(2x)-sin3]/x-1$. Ho posto $x=h+1$ ed impostato il limite per h->0 $[sin(5(1+h))-sin(2(1+h))-sin3]/h$

E qua non so più come andare avanti. Grazie mille!

Per calcolare la derivata di $h(x)=√(e^x - 10x)$ devi avvalerti del teorema di derivazione della funzione composta, cioè:

$D[h(x)]=D[f(g(x))]=f'(g(x))cdot g'(x)$

Sapendo ciò, deve venirti:

$D[h(x)]= d/(dx)(e^x-10x) cdot (1/2(e^x-10x)^(-1/2))=(e^x-10)/(2sqrt(e^x-10x))$

Per il secondo esercizio:

$f(x)=sin(5x) - sin(2x)$

Devi trovare la retta tangente alla funzione nel punto $x_0=0$.
Sai che l'equazione di una retta è

$y=mx+c$

dove $m$, il coefficiente angolare, corrisponde alla derivata della funzione nel punto in esame, cioé

$m=f'(x_0)$

Sapendo ciò, e usando sempre il teorema di derivazione delle funzioni composte:

$f'(x)= 5cos(5x)-2cos(2x)$

$=>m=f'(0)=5-2=3$

La retta deve essere $y=3x+c$. Mettendo tutto in sistema trovo $c$:

\(\displaystyle \begin{cases} f(x)=\sin(5x) - \sin(2x) \\ y=f(x)=3x+c \\ x=0 \end{cases} \)

$=> c=0$

La retta tangente alla funzione è perciò

$y=3x$



EDIT: in alternativa, puoi calcolarti la derivata nel punto con il limite del rapporto incrementale, come hai provato a fare tu:

$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)) / h )$ $= ((sin(5h) - sin(2h))- 0)/h = text(Hopital) = 5cos(h) - 2cos(h)=3$

EDIT 2: corretto orrore nel calcolo del primo esercizio

[LicceS]

"Brancaleone":
EDIT: in alternativa, puoi calcolarti la derivata nel punto con il limite del rapporto incrementale, come hai provato a fare tu:

$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)) / h )$ $= ((sin(5h) - sin(2h))- 0)/h = text(Hopital) = 5cos(h) - 2cos(h)=3$

Grazie mille, è tutto molto più chiaro. Mi rimane solo un dubbio: l'equazione di una retta è $y = mx + c$ ; utilizzando la formula $y = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)$, devo sostituire a $x_0$ 0? Scusa la domanda un po' stupida...

[Brancaleone1]

"LicceS":[quote="Brancaleone"]
EDIT: in alternativa, puoi calcolarti la derivata nel punto con il limite del rapporto incrementale, come hai provato a fare tu:

$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)) / h )$ $= ((sin(5h) - sin(2h))- 0)/h = text(Hopital) = 5cos(h) - 2cos(h)=3$

Grazie mille, è tutto molto più chiaro. Mi rimane solo un dubbio: l'equazione di una retta è $y = mx + c$ ; utilizzando la formula $y = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)$, devo sostituire a $x_0$ 0? Scusa la domanda un po' stupida...[/quote]
Sì, certo

[LicceS]

Bene! Grazie!!