Derivate direzionali
Data la funzione
f(x,y)= $ { (x^2ysin(2x^2+y^2))/( 2x^2+y^2 ) $; 0 se (x,y)=(0,0)
stabilire se f(x, y) e continua, derivabile parzialmente e di fferenziabile nel proprio dominio.
Determinare lungo quali direzioni esistono le derivate direzionali in (0; 0) e calcolare, se esiste, $ (partial f)/(partial v) (0,0) $ con $ v=(1/root2 (2),1/root2 (2)) $
Per calcolare lungo quali direzioni esistono le derivate direzionali, ho studiato il $ lim_(h -> 0) (f(ah,bh)-f(0,0))/(t) $ cioè $ lim_(h -> 0) ((a^2h^2bhsin(2a^2h^2+b^2h^2)-0)/(2a^2h^2+b^2h^2))/h $ e trovo $ lim_(h -> 0) (a^2bh^2sin(2a^2h^2+b^2h^2))/(2a^2+b^2) $ . Posso quindi dire che il limite è uguale a zero per ogni a e b (cioè esiste in ogni direzione)?
f(x,y)= $ { (x^2ysin(2x^2+y^2))/( 2x^2+y^2 ) $; 0 se (x,y)=(0,0)
stabilire se f(x, y) e continua, derivabile parzialmente e di fferenziabile nel proprio dominio.
Determinare lungo quali direzioni esistono le derivate direzionali in (0; 0) e calcolare, se esiste, $ (partial f)/(partial v) (0,0) $ con $ v=(1/root2 (2),1/root2 (2)) $
Per calcolare lungo quali direzioni esistono le derivate direzionali, ho studiato il $ lim_(h -> 0) (f(ah,bh)-f(0,0))/(t) $ cioè $ lim_(h -> 0) ((a^2h^2bhsin(2a^2h^2+b^2h^2)-0)/(2a^2h^2+b^2h^2))/h $ e trovo $ lim_(h -> 0) (a^2bh^2sin(2a^2h^2+b^2h^2))/(2a^2+b^2) $ . Posso quindi dire che il limite è uguale a zero per ogni a e b (cioè esiste in ogni direzione)?
Risposte
1.la funzione è continua se $ lim_((x,y)->(0,0))f(x,y)=f(x_0,y_0)=0 $
2.la funzione è derivabile parzialmente rispetto ad x ed y se
2.la funzione è derivabile parzialmente rispetto ad x ed y se
[*:2cd1fvy0] $ f_x (0,0)= lim_(h->0) (f(h,0)-f(0,0))/h $ [/*:m:2cd1fvy0]
[*:2cd1fvy0] $ f_y (0,0)= lim_(k->0) (f(0,k)-f(0,0))/k $[/*:m:2cd1fvy0][/list:u:2cd1fvy0]
esistono finiti
3. la funzione è derivabile se vale: $ lim_((h,k)-> (0,0)) (f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/sqrt(h^2+k^2) =0 $
4. devi risolvere il limite seguente: $ lim_(t-> 0) (f(x_0 + tv_1, y_0+tv_2) - f(x_0,y_0))/(t) $ dove nel tuo caso $(x_0,y_0)=(0,0)$
e $vec v = (1/sqrt2, 1/sqrt2)$
Per il calcolo delle derivate direzionali in questo conviene usare il teorema del gradiente? Le derivate parziali mi sembrano un pò lunghe da calcolare
non sono per niente difficili, anzi si semplificano di molto. dobbiamo far così:
$ (f(t/sqrt2,t/sqrt2)-f(0,0))/t=(t^2/2*t/sqrt2*sin(3/2t^2))/(t*(3/2t^2)) $ per $t->0$. risolto questo limite hai finito.
$ (f(t/sqrt2,t/sqrt2)-f(0,0))/t=(t^2/2*t/sqrt2*sin(3/2t^2))/(t*(3/2t^2)) $ per $t->0$. risolto questo limite hai finito.
Semplificando t^3 avrei $ sin(3/2t^2)/(3root2 2) $, giusto?
Oppure mi verrebbe in mente di usare l'asintotico per sinx/x ma viene un risultato molto diverso
Oppure mi verrebbe in mente di usare l'asintotico per sinx/x ma viene un risultato molto diverso
(domanda veloce: quando mi chiede lungo quali direzioni è possibile calcolare le derivate direzionali devo trovare a e b tali che quel limite esista, giusto? E non tali avere il limite =0)
$ sin (3/2t^2) ~3/2t^2 $
esiste finito.
un'altra cosa: come prima cosa bisogna normalizzare il vettore che viene dato. nel nostro caso non ce n'è bisogno perchè è già di norma 1.
"cortex96":
(domanda veloce: quando mi chiede lungo quali direzioni è possibile calcolare le derivate direzionali devo trovare a e b tali che quel limite esista, giusto? E non tali avere il limite =0)
esiste finito.
un'altra cosa: come prima cosa bisogna normalizzare il vettore che viene dato. nel nostro caso non ce n'è bisogno perchè è già di norma 1.
Perfetto ,grazie mille!
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