Derivate di ordine successivo
Salve gente, conoscete per caso una formula per calcolare le derivate (in un punto) successive senza conoscere quelle precedenti?
Ad esempio una generalizzazione di questa, che vale per la derivate seconde nell'ipotesi che $f$ sia derivabile due volte in $x_0$: $\lim_{h->0} (f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0))/h^2=f^('')(x_0)$ .
Ad esempio una generalizzazione di questa, che vale per la derivate seconde nell'ipotesi che $f$ sia derivabile due volte in $x_0$: $\lim_{h->0} (f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0))/h^2=f^('')(x_0)$ .
Risposte
con Taylor non ti potrebbe andare bene? i coefficienti dello sviluppo di Taylor di una funzione sono legati alla derivata $n$-esima dalla relazione: $a_n = f^(n)(x_0)/(n!)$ da cui $ f^(n)(x_0)= a_n n!$
Eh ma a questo punto la questione diventa, come faccio a calcolarmelo lo sviluppo di Taylor?
dipende dalla funzione e dal punto. se è in 0 è quello che viene chiamato sviluppo di Mc Laurin.
Si queste cose le so ma se volessi ad esempio calcolare il minimo ordine di derivazione per cui la derivata in $0$ venga diversa da $0$ della funzione definita implicitamente da $e^(yx^2)+x^2+y=0$, come potrei fare?
sinceramente non saprei. ho pensato a questa cosa che però non so se sia corretta. supponendo tu sia in un intorno di $(0,0)$. dato che l'implicita è di classe $C^(oo)$ so che esistono delle costanti tali che per esempio $phi(x) = ax+bx^2+cx^3 +o(x^3)$ quando $x->0$.
per cui $e^((ax+bx^2+cx^3 +o(x^3))x^2)+x^2+(ax+bx^2+cx^3 +o(x^3))=0$
adesso svilupperei con Taylor e vedrei la prima potenza che si annulla. al massimo aumento il grado della $phi$.
non so ho pensato a questo, altro non mi viene in mente e di formule non ne conosco.
per cui $e^((ax+bx^2+cx^3 +o(x^3))x^2)+x^2+(ax+bx^2+cx^3 +o(x^3))=0$
adesso svilupperei con Taylor e vedrei la prima potenza che si annulla. al massimo aumento il grado della $phi$.
non so ho pensato a questo, altro non mi viene in mente e di formule non ne conosco.
Per la generalizzazione della formula che hai messo, è una menata, ma si può fare, prendi e sviluppi con Taylor. Tipo, se $f$ è derivabile tre volte in $x_0$ hai che
$f'''(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{-f(x_0-2h)+2f(x_0-h)-2f(x_0+h)+f(x_0+2h)}{2h^3}$
Questa ha ordine di convergenza 2 ma puoi anche tirare fuori ordini superiori...
$f'''(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{-f(x_0-2h)+2f(x_0-h)-2f(x_0+h)+f(x_0+2h)}{2h^3}$
Questa ha ordine di convergenza 2 ma puoi anche tirare fuori ordini superiori...
"Bremen000":
Per la generalizzazione della formula che hai messo, è una menata, ma si può fare, prendi e sviluppi con Taylor. Tipo, se $f$ è derivabile tre volte in $x_0$ hai che
$f'''(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{-f(x_0-2h)+2f(x_0-h)-2f(x_0+h)+f(x_0+2h)}{2h^3}$
Questa ha ordine di convergenza 2 ma puoi anche tirare fuori ordini superiori...
Proprio una risposta di questo tipo mi interessava, ma da dove l'hai tirata fuori?
E poi come si può generalizzare ad un ordine qualsiasi?
Si chiama "metodo dei coefficienti indeterminati" e l'ho visto in un corso di numerica. E' molto facile in realtà, ad esempio se vuoi approssimare la derivata quinta scrivi qualcosa del tipo
$f^{V}(x_0) = c_1 f(x_0-3h)+c_2f(x_0-2h)+c_3f(x_0-h)+c_4f(x_0)+c_5f(x_0+h)+c_6f(x_0+2h)+c_7f(x_0+3h)$
Sviluppi in serie e raccogli $f(x_0)$ e le sue derivate fino alla sesta. Imponi che i coefficienti di $f(x_0)$ e delle sue derivate prima, seconda, terza e quarta siano $0$. Imponi che il coefficiente della derivata quinta sia $1$ e poi avresti un fattore che dipende dai coefficienti che moltiplicano la derivata sesta più un $o(x^6)$. Siccome necessariamente i coefficienti che ricavi dall'imposizione con l'$1$ sono dell'ordine di $h^-5$ osservi che l'espressione che moltiplica la derivata sesta sarà di ordine uno. E qua puoi imporre anche quel fattore a 0 e ricavare ordine 2, oppure fregartene e tenerti ordine 1 (in questo secondo caso devi togliere un termine dalla prima espressione che ho scritto perché se no avresti troppe poche equazioni per determinare i coefficienti).
Da scrivere è molto più complicato che da fare. Credo esista anche un sito che fa tutto ciò automaticamente.
$f^{V}(x_0) = c_1 f(x_0-3h)+c_2f(x_0-2h)+c_3f(x_0-h)+c_4f(x_0)+c_5f(x_0+h)+c_6f(x_0+2h)+c_7f(x_0+3h)$
Sviluppi in serie e raccogli $f(x_0)$ e le sue derivate fino alla sesta. Imponi che i coefficienti di $f(x_0)$ e delle sue derivate prima, seconda, terza e quarta siano $0$. Imponi che il coefficiente della derivata quinta sia $1$ e poi avresti un fattore che dipende dai coefficienti che moltiplicano la derivata sesta più un $o(x^6)$. Siccome necessariamente i coefficienti che ricavi dall'imposizione con l'$1$ sono dell'ordine di $h^-5$ osservi che l'espressione che moltiplica la derivata sesta sarà di ordine uno. E qua puoi imporre anche quel fattore a 0 e ricavare ordine 2, oppure fregartene e tenerti ordine 1 (in questo secondo caso devi togliere un termine dalla prima espressione che ho scritto perché se no avresti troppe poche equazioni per determinare i coefficienti).
Da scrivere è molto più complicato che da fare. Credo esista anche un sito che fa tutto ciò automaticamente.
Io ho fatto questa domanda anche perché pensavo che sarebbe stato utile per fare un'altra cosa che volevo fare ovvero dimostrare che se una funzione è analitica, allora l'insieme dei punti in cui si annulla è discreto, ma mi sa che questa cosa non si può applicare, quindi come si potrebbe dimostrare?
qualche giorno fa vagavo su stackexchange in cerca di info, e mi sono imbattuto in una dimostrazione che potrebbe fare al caso tuo, la trovi nella risposta in basso:
https://math.stackexchange.com/question ... -confusion
https://math.stackexchange.com/question ... -confusion
"otta96":
Io ho fatto questa domanda anche perché pensavo che sarebbe stato utile per fare un'altra cosa che volevo fare ovvero dimostrare che se una funzione è analitica, allora l'insieme dei punti in cui si annulla è discreto, ma mi sa che questa cosa non si può applicare, quindi come si potrebbe dimostrare?
Ah! Non saprei proprio comunque, il link messo da v3ct0r sembra proprio fare al caso tuo però!
"v3ct0r":
qualche giorno fa vagavo su stackexchange in cerca di info, e mi sono imbattuto in una dimostrazione che potrebbe fare al caso tuo, la trovi nella risposta in basso:
https://math.stackexchange.com/question ... -confusion
Grazie, fa proprio al caso mio!
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