Derivate di ogni ordine
In alcuni esercizi c'è la richiesta di determinare se una funzione ha derivate di ogni ordine; come posso determinarlo?
Ad esempio: "Determinare dove $f$ ammette derivate di ogni ordine"
$$f(x)=\begin{cases}\cos x\log|\cos x|& x\notin \{\pi/2+ k\pi : k\in \mathbb Z \}\\
0& x\in \{\pi/2+ k\pi : k\in \mathbb Z \}\end{cases}$$
Io ho pensato che per $x \notin \{\pi/2+ k\pi : k\in \mathbb Z \}$, $f\in C^\infty$ perché è prodotto e composizione di funzioni regolari. Inoltre ho notato che la funzione è continua anche per $x\in \{\pi/2+ k\pi : k\in \mathbb Z \}$, ma come dico se è derivabile infinite volte anche per $x\in \{\pi/2+ k\pi : k\in \mathbb Z \}$?
Ad esempio: "Determinare dove $f$ ammette derivate di ogni ordine"
$$f(x)=\begin{cases}\cos x\log|\cos x|& x\notin \{\pi/2+ k\pi : k\in \mathbb Z \}\\
0& x\in \{\pi/2+ k\pi : k\in \mathbb Z \}\end{cases}$$
Io ho pensato che per $x \notin \{\pi/2+ k\pi : k\in \mathbb Z \}$, $f\in C^\infty$ perché è prodotto e composizione di funzioni regolari. Inoltre ho notato che la funzione è continua anche per $x\in \{\pi/2+ k\pi : k\in \mathbb Z \}$, ma come dico se è derivabile infinite volte anche per $x\in \{\pi/2+ k\pi : k\in \mathbb Z \}$?
Risposte
Facendo i conti.
Dubito però che debba fare infiniti conti
Edit: (Non avevo fatto i conti per la derivabilità, davo per scontato che fosse derivabile) $f$ non è derivabile neanche una volta per $x=\pi/2$, allora è solo $C^0$. In generale va bene dire che se si ha una funzione che è somma, prodotto, composizione di funzioni classiche la funzione è regolare?
Edit: (Non avevo fatto i conti per la derivabilità, davo per scontato che fosse derivabile) $f$ non è derivabile neanche una volta per $x=\pi/2$, allora è solo $C^0$. In generale va bene dire che se si ha una funzione che è somma, prodotto, composizione di funzioni classiche la funzione è regolare?
Cosa sono le funzioni "classiche"? Quelle che conoscono il greco?
Ti sembrano regolari le funzioni $f(x):=sqrt(x^2)$ e $g(x):=arcsin (sin x)$?
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Le funzioni elementari
"gugo82":
Ti sembrano regolari le funzioni $f(x):=sqrt(x^2)$ e $g(x):=arcsin (sin x)$?
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