Derivate deboli
In rete non riesco a trovare nulla sull'argomento...
Sapreste dirmi qual è il procedimento per determinare se esistono o no le derivate deboli prime e seconde di una data funzione (ad es. f(x)=max(x^2,x) oppure f(x,y)=max(x,y) ).
Avrei bisogno di sapere proprio i passaggi da fare per risolvere un esercizio di questo genere.
Grazie mille e ciao a tutti.
Sapreste dirmi qual è il procedimento per determinare se esistono o no le derivate deboli prime e seconde di una data funzione (ad es. f(x)=max(x^2,x) oppure f(x,y)=max(x,y) ).
Avrei bisogno di sapere proprio i passaggi da fare per risolvere un esercizio di questo genere.
Grazie mille e ciao a tutti.
Risposte
Meglio che te le disegni, poi ricorda che la derivata debole è definita quasi ovunque, e coincide con quella classica quando quest'ultima esiste. Infine quando una funzione salta la derivata debole si porta dietro una delta, come filosofia generale....
Quindi, se ho ben capito, quella che sith20 chiama "derivata debole" altro non è che la derivata distribuzionale?
Non esattamente. La derivata distribuzionale esiste sempre, la derivata debole no.
La derivata debole è una derivata distribuzionale che è una funzione, parlare di $\delta$ in realtà non sarebbe corretto, almeno per come è stata definita a me.
La derivata debole è una derivata distribuzionale che è una funzione, parlare di $\delta$ in realtà non sarebbe corretto, almeno per come è stata definita a me.
E' vero, la derivata debole è una funzione, la derivata nel senso delle distribuzioni potrebbe anche non essere una funzione, ma una distribuzione (ad esempio una misura nel caso della delta).
La derivata debole di una funzione f(x) si ottiene derivando la quantità
$int_-infty^(+infty)f(x)*phi(x)dx$
dove phi(x) è una funzione che vale zero per il valore di x dove f(x) non è derivabile e $int_-infty^(+infty)phi(x)dx =1$.
Dove gli integrali sono nel senso di Lebesgue.
E' facile vedere che se esiste la derivata classica questa coincide con la debole, più difficile far vedere che coincide con la derivata forte, quella nel senso delle distribuzioni.
Se voglio far vedere che derivata debole -> derivata forte mi basta sostituire la funzione sopra definita nella successione che definisce la derivata forte, ma derivata forte -> derivata debole non sempre si riesce a dimostrare che la successione converge alla funzione definita sopra.
$int_-infty^(+infty)f(x)*phi(x)dx$
dove phi(x) è una funzione che vale zero per il valore di x dove f(x) non è derivabile e $int_-infty^(+infty)phi(x)dx =1$.
Dove gli integrali sono nel senso di Lebesgue.
E' facile vedere che se esiste la derivata classica questa coincide con la debole, più difficile far vedere che coincide con la derivata forte, quella nel senso delle distribuzioni.
Se voglio far vedere che derivata debole -> derivata forte mi basta sostituire la funzione sopra definita nella successione che definisce la derivata forte, ma derivata forte -> derivata debole non sempre si riesce a dimostrare che la successione converge alla funzione definita sopra.
"alex231":
La derivata debole di una funzione f(x) si ottiene derivando la quantità
$int_-infty^(+infty)f(x)*phi(x)dx$
???
viene zero (se ha senso), visto che è un numero (se ha senso)
C'è un po' di confusione nelle parole di alex231...
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