Derivate
Ciao a tutti.
Ho questa funzione:
$ f(x)={ ( 0 $ se $x<=0)$ , $ ( e^(-1/x )$ se $x>0)$
Come stabilire per quali valori di $n$ esiste $ f^n(0)$?
Ho questa funzione:
$ f(x)={ ( 0 $ se $x<=0)$ , $ ( e^(-1/x )$ se $x>0)$
Come stabilire per quali valori di $n$ esiste $ f^n(0)$?
Risposte
Comincia col calcolare $f'(0)$ usando la definizione e anche scrivendola in modo formale (cioè applicando le regole di derivazione). Poi da lì vedi cosa puoi dire per $f''(0)$ e di conseguenza ragiona cosa accadrebbe per le derivate di ordine superiore.
$ f'(x)={ ( 0 ),( e^-(1/x)/x^2 ):} $
Siccome
$ lim_(x -> 0^+) e^-(1/x)/x^2 =0 $ e $ lim_(x -> 0^-)0 =0 $
la funzione è derivabile in $0$.
La stessa cosa vale per per le derivate successive in quanto c'è sempre il fattore $ e^-(1/x) $ che ''trascina'' il limite a zero, quindi la derivata esiste per ogni $n$.
E' giusto come ragionamento?
Siccome
$ lim_(x -> 0^+) e^-(1/x)/x^2 =0 $ e $ lim_(x -> 0^-)0 =0 $
la funzione è derivabile in $0$.
La stessa cosa vale per per le derivate successive in quanto c'è sempre il fattore $ e^-(1/x) $ che ''trascina'' il limite a zero, quindi la derivata esiste per ogni $n$.
E' giusto come ragionamento?
Yes.
Grazie 
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