Derivata totale
ciao!nn capisco bene la differenza fra derivata totale e derivata direzionale....
la direzionale si calcola nella direzione di un versore? e la derivata totale?
Grazie!!
la direzionale si calcola nella direzione di un versore? e la derivata totale?
Grazie!!
Risposte
Direi che la derivata direzionale la puoi calcolare proiettando il gradiente della funzione sul versore della direzione prescelta, mediante il prodotto scalare.
grazie....pero la differenza tra le due qual e?
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Direi che la derivata direzionale la puoi calcolare proiettando il gradiente della funzione sul versore della direzione prescelta, mediante il prodotto scalare.
Però questo Giovanni si può fare solo se $f$ risulta differenziabile nel punto considerato...
Se non lo è, bisogna procedere utilizzando la definizione di derivata direzionale.
"richard84":
ciao!nn capisco bene la differenza fra derivata totale e derivata direzionale....
E cosa sarebbe la derivata totale?
Forse è la derivata di una funzione di una sola variabile?
le mie dispense riportano $(df)/(dt)=nablaf*(dr)/(dt)$ dove con $nablaf$ s intende il gradiente e $(dr)/(dt)$derivata rispetto al parametro t di una funzione $z=f(x(t),y(t))$
Ah sì... Basta applicare la formula di derivazione
delle funzioni composte, però facendo uso degli jacobiani...
delle funzioni composte, però facendo uso degli jacobiani...
sarò off topic, ma xke hai cambiato nome?
Parli con me? Perché di fireball mi ero rotto...
Faceva pensare che fossi un amante di manga
giapponesi tipo Dragon Ball, quale invece assolutamente non sono,
anzi li detesto proprio...
Faceva pensare che fossi un amante di manga
giapponesi tipo Dragon Ball, quale invece assolutamente non sono,
anzi li detesto proprio...
si ma le mie dispense e a lezione nn abbiamo parlato di jacobiani e io nn riesco a capire la differenza concettuale fra queste due derivate..
ah ok ,ora ho capito...
Se guardi bene la funzione che a $t$ associa $f(x(t),y(t))$
è una funzione di UNA variabile. Più precisamente,
è composta da una funzione che va da $RR$ in $RR^2$
e da un'altra che va da $RR^2$ in $RR$.
Infatti, prima vai da $RR$ a $RR^2$ con la curva
di equazioni parametriche $(x(t),y(t))$ al variare
di $t$ in un opportuno intervallo, poi "leggi"
la funzione $f$ definita in un opportuno sottoinsieme
di $RR^2$ (che contiene questa curva) a valori in $RR$,
sulla curva stessa. Il risultato è che hai una funzione
reale di una variabile reale, e la variabile reale è $t$.
Questo vuol dire che la derivata di questa funzione dev'essere un numero reale,
cioè una funzione scalare. Si dimostra usando la regola
di derivazione di funzioni composte con gli jacobiani che
$f'(t)=<>
è una funzione di UNA variabile. Più precisamente,
è composta da una funzione che va da $RR$ in $RR^2$
e da un'altra che va da $RR^2$ in $RR$.
Infatti, prima vai da $RR$ a $RR^2$ con la curva
di equazioni parametriche $(x(t),y(t))$ al variare
di $t$ in un opportuno intervallo, poi "leggi"
la funzione $f$ definita in un opportuno sottoinsieme
di $RR^2$ (che contiene questa curva) a valori in $RR$,
sulla curva stessa. Il risultato è che hai una funzione
reale di una variabile reale, e la variabile reale è $t$.
Questo vuol dire che la derivata di questa funzione dev'essere un numero reale,
cioè una funzione scalare. Si dimostra usando la regola
di derivazione di funzioni composte con gli jacobiani che
$f'(t)=<
ho capito che otteniamo un prodotto scalare fra gradiente e la funzione derivata rispetto al parametro t....ma la differenza con la derivata direzionale nn riesco a vederla..
In questo caso, se $f:XsubeRR^2->RR$ risulta
differenziabile lungo la curva piana $ul r(t)=(x(t),y(t))$,
è come se tu stessi facendo la derivata direzionale
di $f$, calcolata in un punto generico della curva
$(x(t),y(t))$, lungo la direzione del vettore tangente
alla curva in ogni punto, cioè il vettore $ulr'(t)=(x'(t),y'(t))$.
differenziabile lungo la curva piana $ul r(t)=(x(t),y(t))$,
è come se tu stessi facendo la derivata direzionale
di $f$, calcolata in un punto generico della curva
$(x(t),y(t))$, lungo la direzione del vettore tangente
alla curva in ogni punto, cioè il vettore $ulr'(t)=(x'(t),y'(t))$.
quindi la derivata totale differisce dalla direzionale perche calcolata in un generico punto nella direzione di un un vettore tangente la curva?
La derivata che tu chiami totale E' in realtà
una derivata direzionale, fatta però
lungo una direzione (quella del vettore
tangente alla curva, appunto) che varia
da punto a punto sulla curva perché
funzione di $t$, quindi è la derivata
direzionale di $f$, calcolata in $ulr(t)=(x(t),y(t))$,
lungo la direzione del vettore $ulr'(t)=(x'(t),y'(t))$.
Hai capito?
una derivata direzionale, fatta però
lungo una direzione (quella del vettore
tangente alla curva, appunto) che varia
da punto a punto sulla curva perché
funzione di $t$, quindi è la derivata
direzionale di $f$, calcolata in $ulr(t)=(x(t),y(t))$,
lungo la direzione del vettore $ulr'(t)=(x'(t),y'(t))$.
Hai capito?
grazie...quel che ho capito e quello che ho scritto nel msg prima di questo...mi sbaglio dicendo quello che ho detto sopra?
Mah... Differisce nel senso che la direzione in questo
caso non è fissata, perché il vettore tangente
è funzione di $t$ e varia da punto a punto...
Se tu fissi $t=t_0$ per esempio, allora
quella che stai facendo E' una derivata direzionale.
caso non è fissata, perché il vettore tangente
è funzione di $t$ e varia da punto a punto...
Se tu fissi $t=t_0$ per esempio, allora
quella che stai facendo E' una derivata direzionale.
si ok...grazie mille Reynolds!!
"richard84":
ciao!nn capisco bene la differenza fra derivata totale e derivata direzionale....
la direzionale si calcola nella direzione di un versore? e la derivata totale?
Grazie!!
la "derivata totale" è un nome inventato da qualche fisico con le idee confuse sul concetto di funzione composta e sua derivata
la spiegazione di Reynolds è ok: è la derivata di $t \mapsto f(x(t),y(t))$ (sperando che qualcuno ti abbia dato queste $x(t)$ e $y(t)$, ma di solito quando si parla di derivata totale si sa chi sono)
la derivata direzionale può anche essere vista come un caso particolare di quella.
Dato un punto $(x_0,y_0)$ ed un versore* $(u,v)$, la derivata direzionale (che poi a essere sinceri sarebbe una derivata direzionversoriale...) di $f$ rispetto alla direzione (e verso!) individuata da $(u,v)$, può essere vista appunto come la "derivata totale" di:
$t \mapsto f(x_0 + tu,y_0 + tv)$
nel punto $t=0$
* versore non è altro che una coppia di numeri reali $(u,v)$ t.c. $u^2+v^2 = 1$
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