Derivata Seconda studio di funzione

steppox
Salve a tutti!! Ho la funzione:
\[\log_{4}{ \sqrt[]{4^{x}-1}}\]
Ho calcolato la derivata prima e posta >0 per vedere dove cresce e dove decresce:
\[\frac{1}{ \sqrt{4^{x}-1}} \frac{1}{2 \sqrt{4^{x}-1}}4^{x} \log_{e}{4} \log_{4}{e}>0\]
Mi trovo che nel dominio la funzione è sempre crescente. Ora per vedere concavità/convessità devo porre la derivata seconda >0 ma non riesco a calcolarla. Qualcuno potrebbe aiutarmi magari scrivendomi la derivata seconda? Grazie mille

Risposte
Quinzio
"steppox":
Salve a tutti!! Ho la funzione:
\[\log_{4}{ \sqrt[]{4^{x}-1}}\]
Ho calcolato la derivata prima e posta >0 per vedere dove cresce e dove decresce:
\[\frac{1}{ \sqrt{4^{x}-1}} \frac{1}{2 \sqrt{4^{x}-1}}4^{x} \log_{e}{4} \log_{4}{e}>0\]
Mi trovo che nel dominio la funzione è sempre crescente. Ora per vedere concavità/convessità devo porre la derivata seconda >0 ma non riesco a calcolarla. Qualcuno potrebbe aiutarmi magari scrivendomi la derivata seconda? Grazie mille


Prima di tutto la derivata va corretta:

\[\frac{1}{ \sqrt{4^{x}-1}} \frac{1}{2 \sqrt{4^{x}-1}} 4^{x} \log{4} \]

che è uguale a

$(1)/(2)log4(4^x)/(4^x-1)$

cioè

$(1)/(2)log4 (1)/(1-4^(-x))$

Ora dire che la derivata seconda la sai trovare.

steppox
Grazie della risposta Quinzio!!! Ho capito come hai semplificato la derivata e mi vergogno un pò :oops: a dirti che nonostante il tuo aiuto non riesco a calcolare la derivata seconda...
Ho le tabelle delle derivate davanti ma non riesco... ti spiego (dimmi dove sbaglio):
\[ \frac{1}{2}\log_{}{4} \frac{1}{1-4^{-x}}\]
Innanzitutto l'argomento del logaritmo è solo 4, giusto?
-Lascio stare 1/2 poichè la derivata di una costante è 0
-riguardo al log, vedo nelle tabelle che ci sono solo log di x oppure di f(x), ma nessun logaritmo di a... Dunque lo ignoro oppure il 4 si comporta come se fosse la x?
-Per quanto riguarda la frazione
\[ \frac{1}{1-4^{-x}}\]
non so come comportarmi, poichè so come si calcola la derivata del rapporto, ma riguardo ad un rapporto f(x)/g(x)... In questo caso sopra c'è 1 che dunque non è una funzione.... come fare?
Perdonatemi ma sono alle prime armi e poichè lavoro non posso seguire i corsi :cry:
Per evitare ulteriori incomprensioni, potreste scrivermi oltre alle spiegazioni dei miei errori anche la derivata seconda? Sicuramente vederla mi aiuterà a capire meglio... Grazie mille e scusate ancora :D

paolotesla91
ragiona in questo modo: $1/2log4$ è costante, quindi qui agisce da costante moltiplicativa, ora ti basta fare la derivata del rapporto :). Cioè in altre parole: $1/2log(4)(d)/(dx)[1/(1-4^(-x))]$. Mi sono spiegato?

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.