Derivata prima nulla, derivata seconda nulla
Buongiorno! La parte di test a crocette di analisi1 chiedeva:
$ f'(x0)=0 $ e $ f''(x0)=0 $ e $ f''(x) $ è strettamente crescente, il punto x0 cos'è?
La risposta è: Punto di flesso orizzontale.
Wikipedia recita:
Io mi chiedo: in che modo il segno della derivata seconda nell'intorno del punto influisce? Non lo trovo scritto da nessuna parte forse perchè è banale la risposta?
(Poi ho una questione tecnica riguardo al forum: come si scrive un pedice? Ad esempio x0 con lo zero a pedice?)
Grazie infinite per l'attenzione!
Marco
$ f'(x0)=0 $ e $ f''(x0)=0 $ e $ f''(x) $ è strettamente crescente, il punto x0 cos'è?
La risposta è: Punto di flesso orizzontale.
Wikipedia recita:
se $ f''(x)=0 $ allora x è possibile sia un punto di flesso. In questo caso occorre valutare le derivate successive oppure il segno della derivata seconda nell'intorno del punto.
Io mi chiedo: in che modo il segno della derivata seconda nell'intorno del punto influisce? Non lo trovo scritto da nessuna parte forse perchè è banale la risposta?
(Poi ho una questione tecnica riguardo al forum: come si scrive un pedice? Ad esempio x0 con lo zero a pedice?)
Grazie infinite per l'attenzione!
Marco
Risposte
Metodo delle derivate successive dice niente?
Comunque basta mettere un underscore: x_0 -> $x_0$
Comunque basta mettere un underscore: x_0 -> $x_0$
Tu sai che il punto di flesso è un punto dove cambia la convessità della funzione. Quindi se il segno della derivata seconda cambia,...
O altrimenti, per verificare se è un flesso, essendo le prime due derivate nulle in quel punto, basta che controlli che la derivata terza in quel punto non sia nulla.
(Per usare il pedice, devi scrivere ad esempio x_0)
Edit: ok, scrivevo assieme a pater46
O altrimenti, per verificare se è un flesso, essendo le prime due derivate nulle in quel punto, basta che controlli che la derivata terza in quel punto non sia nulla.
(Per usare il pedice, devi scrivere ad esempio x_0)
Edit: ok, scrivevo assieme a pater46
"pater46":
Metodo delle derivate successive dice niente?
Comunque basta mettere un underscore: x_0 -> $x_0$
Ho un attimo di blocco. Come lego il fatto che $ f''(x) $ sia strettamente crescente con le derivate successive?
Su questo argomento tempo fa avevo scritto un post con un trucco per aiutare la memoria:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#427725
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#427725
"dissonance":
Su questo argomento tempo fa avevo scritto un post con un trucco per aiutare la memoria:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#427725
Molto utile la tua spiegazione!
Ma se io ho solo l'informazione di $ f'(x_0)=0 $ e $ f''(x_0)=0 $ e che $ f''(x) $ è strettamente crescente, e nessuna informazione su derivata terza o successive? Come ci arrivo? Magari è lapalissiano ma ora mi sfugge la connessione...
In effetti in questo caso il trucco mnemonico non ti serve. No, qui ti conviene ragionare "a mano". Il tuo punto è stazionario, perché $f'(x_0)=0$, geometricamente hai una tangente orizzontale. La derivata seconda pure si annulla, però sai che a destra di $x_0$ è strettamente positiva e a sinistra strettamente negativa. Perciò hai una funzione convessa in un intorno destro di $x_0$ e concava in un intorno sinistro di $x_0$.
"dissonance":
In effetti in questo caso il trucco mnemonico non ti serve. No, qui ti conviene ragionare "a mano". Il tuo punto è stazionario, perché $f'(x_0)=0$, geometricamente hai una tangente orizzontale. La derivata seconda pure si annulla, però sai che a destra di $x_0$ è strettamente positiva e a sinistra strettamente negativa. Perciò hai una funzione convessa in un intorno destro di $x_0$ e concava in un intorno sinistro di $x_0$.
Grazie infinite, mi perdevo pensando che fosse banale trovare le derivate successive con i dati del testo e non ragionavo invece in questo modo!
Grazie!!
"marcoverona":
[...] Ma se io ho solo l'informazione di $ f'(x_0)=0 $ e $ f''(x_0)=0 $ e che $ f''(x) $ è strettamente crescente, e nessuna informazione su derivata terza [...]
$f^('')$ strettamente crescente $ -> f^('')(x_1) - f^('')(x_0) > 0$ per $x_1 > x_0$. Avremo allora $\frac { f^('')(x_1) - f^('')(x_0) }{ x_1 - x_0 } > 0$. Ovvero.. al limite:
$f^(''') > 0$.
"pater46":
[quote="marcoverona"]
[...] Ma se io ho solo l'informazione di $ f'(x_0)=0 $ e $ f''(x_0)=0 $ e che $ f''(x) $ è strettamente crescente, e nessuna informazione su derivata terza [...]
$f^('')$ strettamente crescente $ -> f^('')(x_1) - f^('')(x_0) > 0$ per $x_1 > x_0$. Avremo allora $\frac { f^('')(x_1) - f^('')(x_0) }{ x_1 - x_0 } > 0$. Ovvero.. al limite:
$f^(''') > 0$.[/quote]
Ottimo ragionamento anche questo! Grazie mille! Mi è stato molto d'aiuto!
Però attenzione perché non è garantito che $f$ sia derivabile tre volte.
"dissonance":
Però attenzione perché non è garantito che $f$ sia derivabile tre volte.
Mmm.. ho un pò un vuoto dal punto di vista teorico in questo momento... ma "intuitivamente" non dovrebbe essere derivabile quasi ovunque?
Pater, pensa a $f(x)=x^{5/2}$ e vedi se puoi calcolarne la derivata terza in $0$.
Si, avevo capito cosa intendeva dire.. Pensavo ad un discorso globale, mi ero dimenticato che ci riferivamo ad uno specifico $x_0$ che, appunto, può effettivamente non fare parte di quel "quasi ovunque" 
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