Derivata prima d'integrale doppio
Sia $D sube RR^2$ il semi disco di centro nell'origine e raggio 2 contenuto nel semipiano $y>=0$. si consideri la funzione $f_a (x,y)= x^2 y^2 - a^2/2 y$. sia $h: RR->RR$ la funzione data da: $h(a)=\int int_D f_a (x,y) dxdy$. calcolare $h'(1)$
dunque operando con le coordinate polari ho individuato il seguente dominio $D:{ 0
la prima parte mi viene $64/3 pi$ la seconda parte $-8/6 a^2$ infine per ottenere $h'(1)$ non devo derivare la soluzione integrale perché quest'ultima è già $h'$ per definizione di integrale, giusto?
dunque operando con le coordinate polari ho individuato il seguente dominio $D:{ 0
la prima parte mi viene $64/3 pi$ la seconda parte $-8/6 a^2$ infine per ottenere $h'(1)$ non devo derivare la soluzione integrale perché quest'ultima è già $h'$ per definizione di integrale, giusto?
Risposte
Se ti dico teorema di derivazione sotto il segno d'integrale (per integrali dipendenti da un parametro) ti scatta in mente qualcosa?
purtroppo nulla.... cosa mi dovrebbe venire in mente?
Ma gli integrali dipendenti dai parametri non si studiano più? 
Ad ogni modo, se avessi studiato questi argomenti, sapresti che in caso l'integrando dipenda in maniera regolare da un parametro (o anche da più parametri), la derivata che chiedi si può calcolare derivando sotto il segno d'integrale senza troppi problemi.
In altri termini, se hai:
\[
h(a) := \iint_D f(x,y;a)\ \text{d} x\ \text{d} y
\]
con la dipendenza dal parametro regolare (diciamo \(C^1\)), allora:
\[
h^\prime (a_0) = \iint_D \frac{\partial f}{\partial a}(x,y;a_0)\ \text{d} x\ \text{d} y
\]
(questa è una cosa che potresti dimostrare da te... Prova!
).
Nel tuo caso, dato che:
\[
f(x,y;a) = x^2y^2 - \frac{a^2}{2}\ y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial a} (x,y;a) = x^2\ y^2 - a\ y\; ,
\]
hai:
\[
h^\prime (1) = \iint_D (x^2\ y^2 -y)\ \text{d} x\ \text{d} y\; .
\]
Ad ogni modo, se avessi studiato questi argomenti, sapresti che in caso l'integrando dipenda in maniera regolare da un parametro (o anche da più parametri), la derivata che chiedi si può calcolare derivando sotto il segno d'integrale senza troppi problemi.
In altri termini, se hai:
\[
h(a) := \iint_D f(x,y;a)\ \text{d} x\ \text{d} y
\]
con la dipendenza dal parametro regolare (diciamo \(C^1\)), allora:
\[
h^\prime (a_0) = \iint_D \frac{\partial f}{\partial a}(x,y;a_0)\ \text{d} x\ \text{d} y
\]
(questa è una cosa che potresti dimostrare da te... Prova!
).Nel tuo caso, dato che:
\[
f(x,y;a) = x^2y^2 - \frac{a^2}{2}\ y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial a} (x,y;a) = x^2\ y^2 - a\ y\; ,
\]
hai:
\[
h^\prime (1) = \iint_D (x^2\ y^2 -y)\ \text{d} x\ \text{d} y\; .
\]
grandeee! grazie e forza napoli!
un ultima cosa una volta arrivato a $h'(1)=\int int_D (x^2 y^2 - y) dx dy$ posso procedere come sopra cioè utilizzando le coordinate polari? cmq otterrei un risultato simile al precedente..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo