Derivata prima di $y=xlog((x+5)/(x-1))$
Ciao a tutti, ho provato a fare la derivata prima di questa funzione, vorrei essere sicuro di averlo fatto bene.
$y=xlog((x+5)/(x-1))$
$y'=xlog(x+5)-xlog(x-1)$
$y'=log(x+5)-x/(x+5)-log(x-1)-x/(x-1)$
$y'=log((x+5)/(x-1))+x/(x+5)-x/(x-1)$
secondo voi va bene?
$y=xlog((x+5)/(x-1))$
$y'=xlog(x+5)-xlog(x-1)$
$y'=log(x+5)-x/(x+5)-log(x-1)-x/(x-1)$
$y'=log((x+5)/(x-1))+x/(x+5)-x/(x-1)$
secondo voi va bene?
Risposte
Ciao Clever 
Vediamo se ho capito i tuoi passaggi:
[tex]y(x)=x\log\left(\frac{x+5}{x-1}\right)[/tex] poi utilizzi la proprietà del logaritmo e riscrivi la funzione come segue:
[tex]y(x)= x\log(x+5)-x\log(x-1)[/tex]
Beh, in questo passaggio perdi una parte del dominio della funzione originale. Per farti capire cosa intendo dire prova a determinare i domini delle funzioni:
[tex]f(x)= x\log\left(\frac{x+5}{x-1}\right)[/tex]
[tex]g(x)=x\log(x+5)-x\log(x-1)[/tex]
ti accorgerai che [tex]Dom(f)\ne Dom(g)[/tex] (anzi [tex]Dom(g)\subset Dom(f)[/tex], cioè il dominio di g è contenuto nel dominio di f). Tecnicamente, quindi, le due funzioni non sono le stesse, ma una è l'estensione dell'altra ([tex]f[/tex] è l'estensione di [tex]g[/tex]).
Per risolverla correttamente, utilizza la regola di derivazione del prodotto. Ciao
Vediamo se ho capito i tuoi passaggi:
[tex]y(x)=x\log\left(\frac{x+5}{x-1}\right)[/tex] poi utilizzi la proprietà del logaritmo e riscrivi la funzione come segue:
[tex]y(x)= x\log(x+5)-x\log(x-1)[/tex]
Beh, in questo passaggio perdi una parte del dominio della funzione originale. Per farti capire cosa intendo dire prova a determinare i domini delle funzioni:
[tex]f(x)= x\log\left(\frac{x+5}{x-1}\right)[/tex]
[tex]g(x)=x\log(x+5)-x\log(x-1)[/tex]
ti accorgerai che [tex]Dom(f)\ne Dom(g)[/tex] (anzi [tex]Dom(g)\subset Dom(f)[/tex], cioè il dominio di g è contenuto nel dominio di f). Tecnicamente, quindi, le due funzioni non sono le stesse, ma una è l'estensione dell'altra ([tex]f[/tex] è l'estensione di [tex]g[/tex]).
Per risolverla correttamente, utilizza la regola di derivazione del prodotto. Ciao
Ti aiuto io, facendo attenzione a tutti i passaggi:
$y=x*log((x+5)/(x-1))$
$y'=D(x)*log((x+5)/(x-1))+x*D(log((x+5)/(x-1)))$
$y'=1*log((x+5)/(x-1))+x*1/((x+5)/(x-1))*(1*(x-1)-1*(x+5))/(x-1)^2$
$y'=log((x+5)/(x-1))+x*(x-1)/(x+5)*(x-1-x-5)/(x-1)^2$
$y'=log((x+5)/(x-1))-(6*x)/((x+5)*(x-1))$
Tutto chiaro? Facci sapere.
Ciao.
$y=x*log((x+5)/(x-1))$
$y'=D(x)*log((x+5)/(x-1))+x*D(log((x+5)/(x-1)))$
$y'=1*log((x+5)/(x-1))+x*1/((x+5)/(x-1))*(1*(x-1)-1*(x+5))/(x-1)^2$
$y'=log((x+5)/(x-1))+x*(x-1)/(x+5)*(x-1-x-5)/(x-1)^2$
$y'=log((x+5)/(x-1))-(6*x)/((x+5)*(x-1))$
Tutto chiaro? Facci sapere.
Ciao.
Eh si, è come dite voi.
Era difficile questa, dovevo ragionarci di più
Grazie.
Era difficile questa, dovevo ragionarci di più
Grazie.
"clever":
$y'=log((x+5)/(x-1))+x/(x+5)-x/(x-1)$
secondo voi va bene?
"v.tondi":
$y'=log((x+5)/(x-1))-(6*x)/((x+5)*(x-1))$
Comunque il risultato che avevi trovato era giusto:
$x/(x+5)-x/(x-1)= (x(x-1)-x(x+5))/[(x+5)(x-1)] = (x^2-x-x^2-5x)/[(x+5)(x-1)]= -(6x)/[(x+5)(x-1)] $
Però, come ha detto giustamente Mathematico, a causa di domini diversi, le due funzioni non sono le stesse.
Quindi, in futuro, stai attento, perchè potrebbe ricapitarti una cosa del genere... Cioè arrivi al risultato giusto ma con dei passaggi non corretti
Maledetto dominio di funzione... quante vittime innocenti ha fatto
"v.tondi":
Ti aiuto io, facendo attenzione a tutti i passaggi:
$y=x*log((x+5)/(x-1))$
$y'=D(x)*log((x+5)/(x-1))+x*D(log((x+5)/(x-1)))*D((x+5)/(x-1))$
[...]
Posso farti un piccolissimo appunto?
Se [tex]\displaystyle y(x)=x\log\left(\frac{x+5}{x-1}\right)[/tex] allora:
[tex]\displaystyle y'(x)= D(x) \log\left(\frac{x+5}{x-1}\right)+x D\left(\log\left(\frac{x+5}{x-1}\right)\right)[/tex].
Il pezzo [tex]D\left(\frac{x+5}{x-1}\right)[/tex] non va messo perchè fuoriesce dalla derivata della funzione composta [tex]\log\left(\frac{x+5}{x-1}\right)[/tex]
Ciao
A Mathematico: leggiti questo: http://www.sefed.altervista.org/sito/deco.pdf
In teoria non ho sbagliato a scriverlo!!!
Nel nostro caso abbiamo $f'[g(x)]=D(log((x+5)/(x-1)))$ e $g'(x)=D((x+5)/(x-1))$ o no?
In teoria non ho sbagliato a scriverlo!!!
Nel nostro caso abbiamo $f'[g(x)]=D(log((x+5)/(x-1)))$ e $g'(x)=D((x+5)/(x-1))$ o no?
@v.tondi
Si, ma se per te [tex]D(\cdot)[/tex] indica fin dall'inizio la derivata [tex]\frac{d}{dx}[/tex], ti accorgi che, sebbene fosse chiaro quello che volevi indicare, l'espressione che hai riportato contiene una certa "ridondanza" nel calcolo della derivata.
Si, ma se per te [tex]D(\cdot)[/tex] indica fin dall'inizio la derivata [tex]\frac{d}{dx}[/tex], ti accorgi che, sebbene fosse chiaro quello che volevi indicare, l'espressione che hai riportato contiene una certa "ridondanza" nel calcolo della derivata.
Ha ragione Mathematico, direi. Ma è un fatto di interpretazione del simbolo $D[f(x)]$. @v.tondi: Tu hai scritto $D[log(\frac{x+5}{x-1})]$ intendendo evidentemente $D(log)(\frac{x+5}{x-1})$, cioè la derivata di $log$ calcolata in $\frac{x+5}{x-1}$. Ma se scrivi così uno può intendere un'altra cosa, precisamente:
detta $g(x)=\frac{x+5}{x-1}$, $D[log(\frac{x+5}{x-1})]=D[f \circ g](x)$.
Ed è questo che ha inteso Mathematico. L'ambiguità è insita nei simboli; in effetti non avrebbe senso dire $D[f(x)]$, visto che $f(x)$ è una funzione valutata in $x$, quindi un numero, non una funzione. Però è una scrittura che uso sempre anche io, come credo facciano tutti, assumendo implicitamente il senso a cui si riferisce Mathematico.
[EDIT]Scrivevo evidentemente insieme a K.Lomax.
detta $g(x)=\frac{x+5}{x-1}$, $D[log(\frac{x+5}{x-1})]=D[f \circ g](x)$.
Ed è questo che ha inteso Mathematico. L'ambiguità è insita nei simboli; in effetti non avrebbe senso dire $D[f(x)]$, visto che $f(x)$ è una funzione valutata in $x$, quindi un numero, non una funzione. Però è una scrittura che uso sempre anche io, come credo facciano tutti, assumendo implicitamente il senso a cui si riferisce Mathematico.
[EDIT]Scrivevo evidentemente insieme a K.Lomax.
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