Derivata potenza di potenza di potenza
Buonasera volevo chiedervi un chiarimento, se possibile, su una derivata...
la funzione rigurda matematica finanziaria (ma di fatto è come fosse una "qualsiasi" funzione)
$ (C+1)^{e^{t2-t1}} -1 $
dove C(capitale) è la variabile in cui si deriva
e la funzione è letta come "C più uno elevato ad E elevato a t2-t1, il tutto meno uno"
"t2-t1" è ancora esponente di e..(dal disegno non si capisce proprio bene scusate)
La soluzione è stata questa ma sinceramente non ho capito come siano state applicate le regole di derivazione:
$ e^{t2-t1} * (C+1)^{e^(t2-t1)}-1 $
stesso discorso di prima"t2-t1" è ancora esponente di e.
La derivata si legge come:"e elevato a (t2-t1) che moltiplica, aperta parentesi, c+1,chiusa parentesi, elevato a E elevato a (t2-t1) meno 1
Se potete confermarmi anche che è giusta come derivazione perchè non riesco proprio a capirla...
la funzione rigurda matematica finanziaria (ma di fatto è come fosse una "qualsiasi" funzione)
$ (C+1)^{e^{t2-t1}} -1 $
dove C(capitale) è la variabile in cui si deriva
e la funzione è letta come "C più uno elevato ad E elevato a t2-t1, il tutto meno uno"
"t2-t1" è ancora esponente di e..(dal disegno non si capisce proprio bene scusate)
La soluzione è stata questa ma sinceramente non ho capito come siano state applicate le regole di derivazione:
$ e^{t2-t1} * (C+1)^{e^(t2-t1)}-1 $
stesso discorso di prima"t2-t1" è ancora esponente di e.
La derivata si legge come:"e elevato a (t2-t1) che moltiplica, aperta parentesi, c+1,chiusa parentesi, elevato a E elevato a (t2-t1) meno 1
Se potete confermarmi anche che è giusta come derivazione perchè non riesco proprio a capirla...
Risposte
Ho aggiunto un po' di parentesi per far andare gli esponenti a posto.
Controlla che sia il testo giusto; in caso contrario correggi da solo, grazie.
Controlla che sia il testo giusto; in caso contrario correggi da solo, grazie.
no perfetto come hai modificato tu... scusami ancora
La derivata della potenza è dempre quella.
Se hai [tex]$[f(C)]^\alpha$[/tex] la derivata è [tex]$\alpha\ [f(C)]^{\alpha -1}\ f^\prime (C)$[/tex].
Nel tuo caso [tex]$\alpha =e^{t_2-t_1}$[/tex] ed [tex]$f(C)=C+1$[/tex], cosicché la derivata di [tex]$(C+1)^{e^{t_2-t_1}}$[/tex] è:
[tex]$e^{t_2-t_1}\ (C+1)^{e^{t_2-t_1} -1}$[/tex].
Visto che la derivata di una somma è la somma delle derivate, hai:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} C} \left[ (C+1)^{e^{t_2-t_1}} -1 \right] =e^{t_2-t_1}\ (C+1)^{e^{t_2-t_1} -1}$[/tex]
(la derivata di [tex]$-1$[/tex] è nulla, perchè è una costante).
Se hai [tex]$[f(C)]^\alpha$[/tex] la derivata è [tex]$\alpha\ [f(C)]^{\alpha -1}\ f^\prime (C)$[/tex].
Nel tuo caso [tex]$\alpha =e^{t_2-t_1}$[/tex] ed [tex]$f(C)=C+1$[/tex], cosicché la derivata di [tex]$(C+1)^{e^{t_2-t_1}}$[/tex] è:
[tex]$e^{t_2-t_1}\ (C+1)^{e^{t_2-t_1} -1}$[/tex].
Visto che la derivata di una somma è la somma delle derivate, hai:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} C} \left[ (C+1)^{e^{t_2-t_1}} -1 \right] =e^{t_2-t_1}\ (C+1)^{e^{t_2-t_1} -1}$[/tex]
(la derivata di [tex]$-1$[/tex] è nulla, perchè è una costante).
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