Derivata parziale di una funzione composta

[brownbetty1]

Ciao a tutti,

se ho il campo vettoriale

$(F_1(x(t); y(t); z(t)); F_2(x(t); y(t); z(t)); F_3(x(t); y(t); z(t)))$

e pongo in esso

$x(t) = tx, y(t) = ty, z(t) = tz$,

ottengo

$(F_1(tx; ty; tz); F_2(tx; ty; tz); F_3(tx; ty; tz))$.

Devo calcolare la derivata parziale

$ (partial )/(partial x) (x \cdot F_1(x(t); y(t); z(t))) = (partial )/(partial x) (x \cdot F_1(tx; ty; tz)) $.

Procedo in questo modo, posto $tx = g(x)$:

$(partial )/(partial x) (x \cdot F_1(tx; ty; tz)) = (d)/(dx) (x \cdot H_1(g(x))) = x\cdotH_1^{\prime}(g(x)) + 1\cdotH_1(g(x)) =$
$=x\cdot[H_1^{\prime}(g(x))\cdotg^{\prime}(x)] + H_1(g(x)) = tx\cdotH_1^{\prime}(g(x)) + H_1(g(x)) = (***)$.

A questo punto, nel libro si ha (stiamo parlando della famosa cns affinchè una f.d. sia esatta in uno stellato):

$(***) = tx\cdot(partial )/(partial x) (F_1(tx; ty; tz) + F_1(tx; ty; tz))$.

Secondo me, invece, dovrebbe essere

$(***) = tx\cdot(partial )/(partial g(x)) (F_1(tx; ty; tz) + F_1(tx; ty; tz))$,

perchè, sempre secondo me, posto $p = g(x) = tx$, per la formula di derivazione della funzione composta si ha

$(******)$ : $H_1^{\prime}(g(x)) = (d)/(dp) (H_1(p))|_(p=g(x)=tx)$ $= (partial)/(partial p) (F_1(p; ty; tz))|_(p=g(x)=tx)$,

che è diverso da quello che propone il libro, ovvero

$(******)$ : $H_1^{\prime}(g(x)) =(partial )/(partial x) (F_1(tx; ty; tz)$.

Se la $(******)$ che ho scritto ha senso, perché è uguale alla $(******)$ proposta dal libro ? Cioè, non mi è chiaro come applicare alla fine il teorema di derivazione della funzione composta.

Grazie mille!

[brownbetty1]

up

[vict85]

Non capisco bene il significato di \(\displaystyle x \cdot F_1(x(t); y(t); z(t)) \).

Immagino sia semplicemente la funzione \(\displaystyle xF_1 \) dove \(\displaystyle \cdot \) è il prodotto reale. A questo punto si ha semplicemente la regola della derivazione del prodotto \(\displaystyle \frac{d}{dx} (xF_1) = \frac{dx}{dx}F_1 + x\frac{dF}{dx} = F_1 + x\frac{dF_1}{dx}\). Insomma non vedo dove si usi il teorema delle funzioni composte e non capisco il bisogno di una variabile aggiuntiva.

[brownbetty1]

Ciao

se ho il campo vettoriale

(F1(x(t);y(t);z(t));F2(x(t);y(t);z(t));F3(x(t);y(t);z(t)))

e pongo in esso

x(t)=tx,y(t)=ty,z(t)=tz,

ottengo

(F1(tx;ty;tz);F2(tx;ty;tz);F3(tx;ty;tz)).

Quando dico "pongo", è perché devo farlo, visto che fa parte della dimostrazione.

[vict85]

Ok, penso di aver capito il tuo problema. A volte dei professori amano complicarsi la vita. Il punto è che non è \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial g(x)} \) perché con \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \) nell'ultima formula non intendono davvero \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \) ma la derivata parziale nella prima variabile, che è segnato abitualmente con \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \). Insomma si scontrano tra di loro il significato locale con il significato globale e vince il significato globale perché è quello che conta nel testo del teorema. Ha sempre confuso anche me.

Insomma
\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}\bigl(xF_1(tx,ty,tz)\bigr) &= F(tx,ty,tz) + x\frac{\partial}{\partial x}F_1(tx,ty,tz) \\
&= F_1(tx,ty,tz) + x \partial_1 F_1(tx,ty,tz)\frac{\partial tx}{\partial x} \\
&= F_1(tx,ty,tz) + tx \partial_1 F_1(tx,ty,tz) \end{align*}
dove spero che \(\displaystyle \partial_1 \) sia inteso come derivata parziale rispetto alla prima variabile.

[brownbetty1]

Ciao vict,

scusa se ti rispondo così tardi.

Si, hai centrato il problema. Ti ringrazio infinitamente!
Adesso è tutto più chiaro!

Buona serata