Derivata nulla in infiniti punti e crescenza
Buongiorno a tutti, ho alcune domande vero/falso, del quale non ho la risposta, ma della maggior parte sono sicuro, alcune, forse per mia ignoranza, forse perchè non vengono chiarite bene le ipotesi presenti, qua riporto innanzitutto il cruccio più grande.
se \(\displaystyle f' \)si annulla infinite volte \(\displaystyle f \) non può essere strettamente crescente VERO o FALSO?
Come prima cosa penso a come potrebbe essere una f del genere, cioè con infiniti punti stazionari, e che sia crescente, per vedere se l'annullarsi in infiniti punti implica il non essere STRETTAMENTE crescente:
-1- Una funzione che prima cresce, poi si stabilizza per un "pezzo", come fosse una retta, e poi ricresce. Per una funzione di questo tipo sembra essere VERO la risposta.
-2- Una funzione che ha infiniti punti stazionari di cui almeno uno estremo relativo. Tipo la funzione \(\displaystyle sen(x) \), che ha infiniti estremi relativi, o qualsiasi altra funzione che abbia un estremo relativo. Anche per questo tipo di funzione la risposta sembra essere VERO perchè se ha un estremo relativo significa che la derivata cambia segno, e quindi la funzione non solo non sarebbe strettamente crescente ma neanche non-decrescente.
-3- Tutti gli infiniti punti stazionari sono "lontani" tra di loro (non so usare termini matematici in merito, ma vorrei dire che non ci sono punti stazionari "attaccati") e sono TUTTI punti di flesso. Ovvero una funzione che cresce ed è convessa, poi la derivata si annulla in un punto di flesso, e la funzione continua a crescere ma non-convessa, poi altro punto di flesso e ritorna convessa. etc. etc.
Ecco, la -3- è un controesempio per l'affermazione di partenza, quindi metto FALSO.
Il mio dubbio è: esiste una funzione del genere (-3-) ?
se \(\displaystyle f' \)si annulla infinite volte \(\displaystyle f \) non può essere strettamente crescente VERO o FALSO?
Come prima cosa penso a come potrebbe essere una f del genere, cioè con infiniti punti stazionari, e che sia crescente, per vedere se l'annullarsi in infiniti punti implica il non essere STRETTAMENTE crescente:
-1- Una funzione che prima cresce, poi si stabilizza per un "pezzo", come fosse una retta, e poi ricresce. Per una funzione di questo tipo sembra essere VERO la risposta.
-2- Una funzione che ha infiniti punti stazionari di cui almeno uno estremo relativo. Tipo la funzione \(\displaystyle sen(x) \), che ha infiniti estremi relativi, o qualsiasi altra funzione che abbia un estremo relativo. Anche per questo tipo di funzione la risposta sembra essere VERO perchè se ha un estremo relativo significa che la derivata cambia segno, e quindi la funzione non solo non sarebbe strettamente crescente ma neanche non-decrescente.
-3- Tutti gli infiniti punti stazionari sono "lontani" tra di loro (non so usare termini matematici in merito, ma vorrei dire che non ci sono punti stazionari "attaccati") e sono TUTTI punti di flesso. Ovvero una funzione che cresce ed è convessa, poi la derivata si annulla in un punto di flesso, e la funzione continua a crescere ma non-convessa, poi altro punto di flesso e ritorna convessa. etc. etc.
Ecco, la -3- è un controesempio per l'affermazione di partenza, quindi metto FALSO.
Il mio dubbio è: esiste una funzione del genere (-3-) ?
Risposte
Beh, \(f(x):=\sin x + x\)... 
Grazie mille! E' vero, non ci avevo pensato, stupidamente.
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