Derivata non finita
Salve a tutti. Pensando ai punti del dominio di una funzione in cui la derivata è infinita (tangente verticale), mi sono posto il seguente quesito, curioso di sapere se finirà nella sezione "controesempi in analisi", oppure se la tale congettura è dimostrabile: sia una funzione $ f(x) $, e un punto $ c $ del dominio in cui essa è continua, e tale per cui la derivata destra è uguale a $ +oo $; è possibile dimostrare l'esistenza di un intorno destro bucato di $ c $, tale per cui la derivata è sempre positiva? In caso contrario, fornire cortesemente un controesempio.
Risposte
Il numeratore è sempre finito e positivo (oscilla tra $1$ e $3$), il denominatore va a zero (da destra).
Vedi tu ...
Vedi tu ...
"axpgn":
Il numeratore è sempre finito e positivo (oscilla tra $1$ e $3$), il denominatore va a zero (da destra).
Vedi tu ...
Mmmmm, messa cosa, forse mi potrei anche convincere, tuttavia cercherò di dimostrarlo in maniera più rigorosa, e non intuitiva.
E te lo devo pure dimostrare?
"gugo82":
E te lo devo pure dimostrare?
A questo punto eviterei, mi accontento della spiegazione intuitiva. Casomai la dimostrazione rigorosa, la farò per conto mio. Comunque, grazie ancora per aver fornito quel controesempio, direi che questo thread può concludersi qui.
@Daken: basta osservare che
\[
\frac{2+\sin(\tfrac1h)}{\sqrt{h}}\ge \frac{1}{\sqrt{h}}.\]
[ot]Ho visto che usi un linguaggio piuttosto barocco, ma non occorre, qui su questo forum è sufficiente esprimersi in modo semplice e lineare.
[/ot]
\[
\frac{2+\sin(\tfrac1h)}{\sqrt{h}}\ge \frac{1}{\sqrt{h}}.\]
[ot]Ho visto che usi un linguaggio piuttosto barocco, ma non occorre, qui su questo forum è sufficiente esprimersi in modo semplice e lineare.
[/ot]
Guarda che basta applicare le usuali regole di calcolo dei limiti.
Il calcolo è la forma più basilare di dimostrazione, perciò ai bimbi si insegna a svolgere le operazioni "a mano".
Il calcolo è la forma più basilare di dimostrazione, perciò ai bimbi si insegna a svolgere le operazioni "a mano".
"gugo82":
Guarda che basta applicare le usuali regole di calcolo dei limiti.
Il calcolo è la forma più basilare di dimostrazione, perciò ai bimbi si insegna a svolgere le operazioni "a mano".
Sinceramente, una dimostrazione rigorosa non la trovavo così scontata (con una basilare sostituzione, ovviamente non si arriva a dama), ma giustamente dissonance fa notare che bastava applicare il teorema del confronto, quindi no problem.
Cosa significa, alla luce del mio post precedente, "dimostrazione rigorosa"?
Basta fare il conto.
Esistono i teoremi sui limiti: usali.
Basta fare il conto.
Esistono i teoremi sui limiti: usali.
"gugo82":
Cosa significa, alla luce del mio post precedente, "dimostrazione rigorosa"?
Basta fare il conto.
Esistono i teoremi sui limiti: usali.
Eh, ma avrei dovuto ragionare un po' su quella funzione, probabilmente in seguito avrei avuto l'intuizione di applicare il teorema del confronto. Magari non era un limite così impossibile, ma nemmeno immediato.
Quello è un calcolo di base.
Si tratta di un prodotto tra una funzione infinita ed una limitata inferiormente con un minorante positivo; si applica il teorema sul prodotto dei limiti.
Si tratta di un prodotto tra una funzione infinita ed una limitata inferiormente con un minorante positivo; si applica il teorema sul prodotto dei limiti.
Mi ero perso questa discussione abbastanza interessante e, sebbene sia sostanzialmente conclusa, rimane aperta una domanda posta ad un certo punto:
Questa era una domanda diversa da quella iniziale (a cui è stata data la risposta) che è rimasta in sospeso e a me è sembrata interessante, quindi vado ora a fornire una risposta.
Consideriamo la funzione di Cantor $C:[0,1]->[0,1]$ e sia $f(x)=x^2C(x)$. Questa funzione è derivabile nei punti in cui $C$ lo è, ma anche in $0$, infatti $\lim_{x->0}(f(x)-f(0))/(x-0)=\lim_{x->0}xC(x)=0$, in quanto $C$ è limitata. Mentre negli altri punti non è derivabile perchè sennò lo sarebbe anche $C(x)=f(x)/x^2$.
Inoltre $f$ è invertibile perchè se $x
Dunque la funzione $g=f^(-1)$ è ben definita, continua e derivabile ovunque tranne che, in $f(A\setminus{0})$, dove $A$ è l'insieme di Cantor. In più il fatto che $f'(0)=0$ implica che $\lim_{x->0}(g(x)-g(0))/(x-0)=+\infty$.
Per finire, dato che $\lim_{x->0}f(x)=0$ e $\text{inf}A\setminus{0}=0$, anche $\text{inf}f(A\setminus{0})=0$, quindi non si può trovare un intorno di $0$ in cui $g$ sia derivabile.
P.S. Mentre scrivevo mi è venuto in mente un altro esempio, che è il classico esempio (di wan der Waerder) di funzione mai derivabile $f(x)=\sum_{n=0}^(+\infty)(d_ZZ(2^nx))/2^n$, dove $d_ZZ$ è la distanza dell'intero più vicino. Questa funzione soddisfa $\lim_{x->0^+}(f(x)-f(0))/(x-0)=+\infty$ ma, come dicevo prima, non è derivabile in nessun punto.
"Daken97":
Allora, io vi pongo quest'altra domanda: se la funzione è continua in $ [a,b] $, e $ lim_(x -> a+) (f(a)-f(x))/(a-x)=+oo $, è possibile che non esista un intorno destro bucato di $ a $ in cui la funzione è interamente derivabile?
Questa era una domanda diversa da quella iniziale (a cui è stata data la risposta) che è rimasta in sospeso e a me è sembrata interessante, quindi vado ora a fornire una risposta.
Consideriamo la funzione di Cantor $C:[0,1]->[0,1]$ e sia $f(x)=x^2C(x)$. Questa funzione è derivabile nei punti in cui $C$ lo è, ma anche in $0$, infatti $\lim_{x->0}(f(x)-f(0))/(x-0)=\lim_{x->0}xC(x)=0$, in quanto $C$ è limitata. Mentre negli altri punti non è derivabile perchè sennò lo sarebbe anche $C(x)=f(x)/x^2$.
Inoltre $f$ è invertibile perchè se $x
Dunque la funzione $g=f^(-1)$ è ben definita, continua e derivabile ovunque tranne che, in $f(A\setminus{0})$, dove $A$ è l'insieme di Cantor. In più il fatto che $f'(0)=0$ implica che $\lim_{x->0}(g(x)-g(0))/(x-0)=+\infty$.
Per finire, dato che $\lim_{x->0}f(x)=0$ e $\text{inf}A\setminus{0}=0$, anche $\text{inf}f(A\setminus{0})=0$, quindi non si può trovare un intorno di $0$ in cui $g$ sia derivabile.
P.S. Mentre scrivevo mi è venuto in mente un altro esempio, che è il classico esempio (di wan der Waerder) di funzione mai derivabile $f(x)=\sum_{n=0}^(+\infty)(d_ZZ(2^nx))/2^n$, dove $d_ZZ$ è la distanza dell'intero più vicino. Questa funzione soddisfa $\lim_{x->0^+}(f(x)-f(0))/(x-0)=+\infty$ ma, come dicevo prima, non è derivabile in nessun punto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo