Derivata funz. inversa in un punto
Buongiorno ragazzi, sto preparando l'esame di analisi 1, ma non mi è chiaro questo teorema: D[f^-1(y)] = [1\f'(x)].
Un esercizio tipo dell'esame è strutturato così:
Data $\f(t) = t^2 + cost$, con $\t>0$ calcolare la derivata della funzione inversa nel punto Xo = $\pi^2 -1$
Da quello che ho capito io, dovrei trovare la controimmagine del punto Xo, in maniera da poterci calcolare poi la funzione inversa mediante il teorema indicato sopra.
Dovrei forse risolvere l'equazione: $\t^2 + cost = pi^2 - 1$ e usare il risultato (che a quanto ho capito risulta essere controimmagine di Xo) nella formula scritta alla prima riga?
Vi ringrazio in anticipo per la pazienza e l'aiuto.
Un esercizio tipo dell'esame è strutturato così:
Data $\f(t) = t^2 + cost$, con $\t>0$ calcolare la derivata della funzione inversa nel punto Xo = $\pi^2 -1$
Da quello che ho capito io, dovrei trovare la controimmagine del punto Xo, in maniera da poterci calcolare poi la funzione inversa mediante il teorema indicato sopra.
Dovrei forse risolvere l'equazione: $\t^2 + cost = pi^2 - 1$ e usare il risultato (che a quanto ho capito risulta essere controimmagine di Xo) nella formula scritta alla prima riga?
Vi ringrazio in anticipo per la pazienza e l'aiuto.
Risposte
Il senso del teorema è il seguente: se tu hai una funzione $f:A\rightarrow RR$ tale che $y_0=f(x_0)$ allora risulta $D[f^{-1}(y_0)]=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$. Ciò che devi fare, in sostanza, è ciò che hai scritto: il valore $x_0=\pi^2-1$ corrisponderà ad un certo valore di $t$, nella fattispecie (come puoi convincerti da solo) a $t_0=\pi$. Fatto questo, avrai
$$D[f^{-1}(x_0)]=\frac{1}{f'(t_0)}=\frac{1}{2t_0-\sin t_0}=\frac{1}{2\pi}$$
$$D[f^{-1}(x_0)]=\frac{1}{f'(t_0)}=\frac{1}{2t_0-\sin t_0}=\frac{1}{2\pi}$$
Grazie mille, ora è tutto chiaro! ;D
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