Derivata direzionale

[indovina]

Ciao a tutti.
Sto leggendo la definizione di derivata direzionale, con i relativi esempi.
Ma la domanda che mi viene è: che significato ha la derivata direzionale nello studio di fisica 2, ha un suo significato 'fisico'?
[perchè il mio programma di fisica 2 lo porta come 'prerequisito' da sapere]
Grazie.

[Sk_Anonymous]

"clever":
... che significato ha la derivata direzionale nello studio di fisica 2, ha un suo significato 'fisico'?

Allora, per essere coerenti, dovresti nutrire le stesse perplessità anche sul significato "fisico" delle derivate parziali. Per fare un esempio, le derivate parziali del potenziale elettrico cambiate di segno, rappresentano le componenti del campo elettrico lungo gli assi. Se sei interessato alla componente del campo elettrico lungo una determinata direzione non coincidente con gli assi, devi calcolare la derivata direzionale cambiata di segno. Per fortuna, esiste una semplice relazione tra la derivata direzionale, le derivate parziali e il versore che individua la direzione, relazione che dovresti conoscere.

[indovina]

Conosco la definizione di una derivata rispetto ad un vettore:

$f$ è derivabile in $x_0$ rispetto a $v$ (vettore che indica la direzione) se esiste finita:

$lim_(t->0) (f(x_0 +t*v) - f(x_0))/t = D_v f(x_0)$

e anche il significato geometrico della derivata rispetto ad un vettore:

Considerata una restrizione $g(t) = f(x_0 +t*v)$ cioè la restrizione di $f$ sulla reatta per $x_0$ individuata dal vettore $v$:

$g'(0) = lim_(t->0) (g(t) - g(0))/t = (f(x_0 +t*v) - f(x_0))/t = D_v f(x_0)$


non so altro. :/

[Sk_Anonymous]

"speculor":
Per fortuna, esiste una semplice relazione tra la derivata direzionale, le derivate parziali e il versore che individua la direzione, relazione che dovresti conoscere.

Per esempio, in $RR^3$, se $(u_x,u_y,u_z)$ è il versore che individua la direzione:

$(delf)/(delu)=(delf)/(delx)u_x+(delf)/(dely)u_y+(delf)/(delz)u_z$

[dissonance]

Fai una cosa, clever: rifletti un po' sulle dimensioni (nel senso fisico del termine) di una derivata parziale. Per esempio, se \(T(x, y, z)\) è la temperatura del punto di coordinate \(x, y, z\), quali sono le dimensioni di \(\frac{\partial T}{\partial x}\)? Quale unità di misura puoi scegliere per questa derivata?

[indovina]

Intuitivamente
è come varia la temperatura nel tempo, quindi l'unità di misura dovrebbe essere $K/s$ :S
però ricordo di aver letto che presa la temperatura $T(x,y,z)$ calcolata nel punto $(x,y,z)$, bisogna prendere una regione di un corpo V, misurabile, e contenente il punto$(x,y,z)$, insomma il calore è proporzionale alla temperatura.
non so se possa entrarci qualcosa..

[dissonance]

Assolutamente no, che casino stai combinando. Da dove hai tirato fuori il tempo? I simboli di derivata sono così proprio per permettere di rispondere subito a domande come questa. Vedila così:

\[\frac{\partial T}{\partial x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta T}{\Delta x}\]

quindi le dimensioni di \(\frac{\partial T}{\partial x}\) sono ...

il calore è proporzionale alla temperatura

Non c'entra assolutamente nulla. Abbiamo preso la temperatura solo perché è la prima grandezza che viene in mente. Ugualmente si poteva scegliere la pressione, la densità di massa, l'intensità di campo elettrico ...

[indovina]

K/m

kelvin/metro

[dissonance]

Ok! E questo ti fa anche capire un po' meglio il significato di derivata direzionale. E' il tasso di accrescimento in funzione delle variabili spaziali: ad esempio, se \(\frac{\partial T}{\partial x}=1 \frac{K}{m}\) stiamo dicendo che, approssimativamente, spostandoci in direzione \(x\) di \(1\) metro la temperatura salirà di \(1\) Kelvin. L'approssimazione è tanto migliore quanto più piccoli sono gli spostamenti.

Per approfondimenti consiglio una visita a questo sito:
http://mathinsight.org/partial_derivative_introduction