Derivata direzionale
Siano $U \in \mathbb{R}^n$, $p\in U$, $v\in \mathbb{R}^n$, $F:U\to \mathbb{R}$ definiamo derivata direzionale di $F$ in $p$ nella direzione $v$ il limite $\lim_{t\to 0}\frac{F(p+tv)-F(p)}{t}$. Denoteremo tale derivata con $v(F)_p$. Adesso la mia domanda è questa:
come dimostro che $v(F)_p=v_1\frac{\partial F}{\partial u_1}(p)+...+v_n\frac{\partial F}{\partial u_n}(p)$ dove $v_1...v_n$ sono le coordinate di $v$ rispetto alla base canonica e $\frac{\partial F}{\partial u_i}$ sono le derivate parziali di $F$?
come dimostro che $v(F)_p=v_1\frac{\partial F}{\partial u_1}(p)+...+v_n\frac{\partial F}{\partial u_n}(p)$ dove $v_1...v_n$ sono le coordinate di $v$ rispetto alla base canonica e $\frac{\partial F}{\partial u_i}$ sono le derivate parziali di $F$?
Risposte
Dunque... dipende in gran parte a che punto sei tu.
Ho un vago ricordo di una soluzione piuttosto "con le mani", ma data la mia scarsa memoria analitica l'ho dimenticata.
Un modo potrebbe essere utilizzare la chain rule: introduci [tex]g(t) := F(\mathbf p + t \mathbf v)[/tex]. Allora
[tex]\displaystyle \mathbf v(F)_p = \frac{d}{dt} (g(t)) = \left( \frac{\partial F}{\partial u_1}(p), \ldots, \frac{\partial F}{\partial u_n}(p) \right) \left( \begin{matrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right) = \sum_{i = 1}^n v_i \frac{\partial F}{\partial u_i}(p)[/tex]
Comunque non sono soddisfatto perché questo è un risultato che si dimostra di solito indipendentemente dalla chain rule...
Ho un vago ricordo di una soluzione piuttosto "con le mani", ma data la mia scarsa memoria analitica l'ho dimenticata.
Un modo potrebbe essere utilizzare la chain rule: introduci [tex]g(t) := F(\mathbf p + t \mathbf v)[/tex]. Allora
[tex]\displaystyle \mathbf v(F)_p = \frac{d}{dt} (g(t)) = \left( \frac{\partial F}{\partial u_1}(p), \ldots, \frac{\partial F}{\partial u_n}(p) \right) \left( \begin{matrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right) = \sum_{i = 1}^n v_i \frac{\partial F}{\partial u_i}(p)[/tex]
Comunque non sono soddisfatto perché questo è un risultato che si dimostra di solito indipendentemente dalla chain rule...
Il Sernesi la da abbastanza per scontata e la introduce nel paragrafo sullo spazio tangente ad una varietà differenziabile. La deduce da queste proprietà delle derivate direzionali:
$(av+bw)(F)_p=av(F)_p+bw(F)_p$
$v(aF+bG)_p=av(F)_p+bv(G)_p$
$v(FG)_p=v(F)_pG(p)+F(p)v(G)_p$
Credo che la prima di queste proprietà faccia al caso mio.
$(av+bw)(F)_p=av(F)_p+bw(F)_p$
$v(aF+bG)_p=av(F)_p+bv(G)_p$
$v(FG)_p=v(F)_pG(p)+F(p)v(G)_p$
Credo che la prima di queste proprietà faccia al caso mio.
Cavolo, mi ero perso questo post 
Max, ma quello che vuoi dimostrare è la "regola del gradiente", o sbaglio? Cioè, vuoi dimostrare che, se la funzione è differenziabile in $p=(x,y)$, allora ammette ivi derivate direzionali lungo ogni direzione e vale $v(f)_p=\nablaf_p \cdot v$.
Se è questo che vuoi, direi che non è difficile, basta usare bene l'ipotesi di differenziabilità: [tex]\lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{v})-f(\mathbf{x})}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{\nabla f_p \cdot t\mathbf{v} + o(\Vert t\mathbf{v}\Vert)}{t}[/tex]. A questo punto, basta quindi verificare che [tex]\lim_{t \to 0} \frac{o(\Vert t\mathbf{v}\Vert)}{t}=0[/tex].
Ma [tex]\lim_{t \to 0} \frac{o(\Vert t\mathbf{v}\Vert)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{\Vert \mathbf{v} \Vert o(\vert t \vert)}{|t|} \frac{|t|}{t}=0[/tex], perchè [tex]\frac{\Vert \mathbf{v} \Vert o(\vert t \vert)}{|t|} \to 0[/tex] per definizione e l'altro fattore, pur non avendo limite, si mantiene limitato.
Ti torna? Era questo che volevi? Spero sia chiaro.
P.S. Vedo solo ora il tuo messaggio di risposta e capisco che, molto probabilmente, ho preso un granchio: immaginavo fosse un problema di Analisi, a quanto vedo, invece, ci sono sotto le varietà. A questo punto, però, mi domando: l'ipotesi di differenziabilità non serve?
Max, ma quello che vuoi dimostrare è la "regola del gradiente", o sbaglio? Cioè, vuoi dimostrare che, se la funzione è differenziabile in $p=(x,y)$, allora ammette ivi derivate direzionali lungo ogni direzione e vale $v(f)_p=\nablaf_p \cdot v$.
Se è questo che vuoi, direi che non è difficile, basta usare bene l'ipotesi di differenziabilità: [tex]\lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{v})-f(\mathbf{x})}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{\nabla f_p \cdot t\mathbf{v} + o(\Vert t\mathbf{v}\Vert)}{t}[/tex]. A questo punto, basta quindi verificare che [tex]\lim_{t \to 0} \frac{o(\Vert t\mathbf{v}\Vert)}{t}=0[/tex].
Ma [tex]\lim_{t \to 0} \frac{o(\Vert t\mathbf{v}\Vert)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{\Vert \mathbf{v} \Vert o(\vert t \vert)}{|t|} \frac{|t|}{t}=0[/tex], perchè [tex]\frac{\Vert \mathbf{v} \Vert o(\vert t \vert)}{|t|} \to 0[/tex] per definizione e l'altro fattore, pur non avendo limite, si mantiene limitato.
Ti torna? Era questo che volevi? Spero sia chiaro.
P.S. Vedo solo ora il tuo messaggio di risposta e capisco che, molto probabilmente, ho preso un granchio: immaginavo fosse un problema di Analisi, a quanto vedo, invece, ci sono sotto le varietà. A questo punto, però, mi domando: l'ipotesi di differenziabilità non serve?
Presumo che l'ipotesi di differenziabilità (in un intorno di $p$) serva perché altrimenti non avremmo garanzia dell'esistenza delle derivate parziali in $p$.
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