Derivata di funzione inversa
Ciao, vorrei chiedervi se seguo il procedimento corretto in questo esercizio.
La domanda è: la derivata della funzione inversa [tex]f(x)=x^2 -kx +lnx[/tex] nel punto [tex]lnk[/tex] è uguale a [tex]-1/2[/tex]se e solo se k è uguale a:
a)[tex]1/2[/tex] b)[tex]-1[/tex] c)[tex]1[/tex] d)per nessun valore di k c)nessuna delle precedenti
Io procedo così:
non riuscendo a calcolare a risolvere in x per[tex]lnk=x^2 -kx +lnx[/tex], ne faccio la derivata , ed eguaglio il reciproco a -1/2 per la formula che dice che la derivata dell'inversa è uguale al reciproco della derivata nei rispettivi punti
[tex]g'(lnk)= 1/ f(Xo=?)=-1/2[/tex] e risolvo. Poichè ottengo una funzione di secondo grado, devo trovare quei valori di K che rendano il discriminante [tex]\geq0[/tex] che consenta all'equazione di avere soluzione. L'intervallo mi viene[tex]2\pm 2\sqrt{2}.[/tex]
E' corretto o dovrei seguire un'altra strada? Anche perchè mi pare che questo intervallo escluda k=1 che invece dovrebbe essere corretto..
Grazie per qualsiasi suggerimento, sono appena approdato
La domanda è: la derivata della funzione inversa [tex]f(x)=x^2 -kx +lnx[/tex] nel punto [tex]lnk[/tex] è uguale a [tex]-1/2[/tex]se e solo se k è uguale a:
a)[tex]1/2[/tex] b)[tex]-1[/tex] c)[tex]1[/tex] d)per nessun valore di k c)nessuna delle precedenti
Io procedo così:
non riuscendo a calcolare a risolvere in x per[tex]lnk=x^2 -kx +lnx[/tex], ne faccio la derivata , ed eguaglio il reciproco a -1/2 per la formula che dice che la derivata dell'inversa è uguale al reciproco della derivata nei rispettivi punti
[tex]g'(lnk)= 1/ f(Xo=?)=-1/2[/tex] e risolvo. Poichè ottengo una funzione di secondo grado, devo trovare quei valori di K che rendano il discriminante [tex]\geq0[/tex] che consenta all'equazione di avere soluzione. L'intervallo mi viene[tex]2\pm 2\sqrt{2}.[/tex]
E' corretto o dovrei seguire un'altra strada? Anche perchè mi pare che questo intervallo escluda k=1 che invece dovrebbe essere corretto..
Grazie per qualsiasi suggerimento, sono appena approdato
Risposte
Ciao,e benvenuto/a su questo Forum!
Sul tuo quesito sembri esserci,in linea molto generale,ma mi par che ti si debbano muovere due appunti non da poco:
1)Hai dimenticato un'apicetto d'importanza niente affatto trascurabile,
nella trascrizione della tesi del teorema sulla derivata d'una funzione inversa..
2)Ma quell'$x_0$ a cosa sarebbe uguale?
E perchè è legittimo cercarlo
(domanda che non significa che è illecito farlo,ma solo che dovresti mostrare perchè non lo è..)?
Cmq,ma ho fatto i conti a mente e di fretta,a me par che l'equazione "sparametrizzante" sia $1/(k+1/k)=-1/2$:
saluti dal web.
Sul tuo quesito sembri esserci,in linea molto generale,ma mi par che ti si debbano muovere due appunti non da poco:
1)Hai dimenticato un'apicetto d'importanza niente affatto trascurabile,
nella trascrizione della tesi del teorema sulla derivata d'una funzione inversa..
2)Ma quell'$x_0$ a cosa sarebbe uguale?
E perchè è legittimo cercarlo
(domanda che non significa che è illecito farlo,ma solo che dovresti mostrare perchè non lo è..)?
Cmq,ma ho fatto i conti a mente e di fretta,a me par che l'equazione "sparametrizzante" sia $1/(k+1/k)=-1/2$:
saluti dal web.
Ciao, grazie, provo a spiegarmi meglio.
1)L'apice ho solo dimenticato di trasciverlo.
2) Ho scritto Xo=? perchè appunto non sono in grado di risolvere [tex]lnk=x^2−kx+lnx[/tex] e trovare il valore di f(lnk)=Xo che mi renderebbe la vita molto più semplice.
Quindi mi calcolo semplicemente la derivata [tex]2x -k +1/x[/tex] , e la eguaglio a -2 (reciproco per il teorema sulla derivata dell'inversa etc.) e risolvo in x. Il valore di x che trovo dipenderà da k e se esiste dovrebbe verificare sia l'equazione inoziale, sia la richiesta dell'esercizio...cosa che invece è falsa. Non è assolutamente detto che la x verifichi f(lnk) quindi..
Mi rendo conto riguardandoci meglio che invece esiste una soluzione molto evidente per la f(x) ed è x=k che mi riporta alla formula risolutiva che hai mostrato tu, e che da k=1.
Grazie per l'aiuto, tornerò presto a perseguitarvi con qualche altra domanda banalozza come questa
1)L'apice ho solo dimenticato di trasciverlo.
2) Ho scritto Xo=? perchè appunto non sono in grado di risolvere [tex]lnk=x^2−kx+lnx[/tex] e trovare il valore di f(lnk)=Xo che mi renderebbe la vita molto più semplice.
Quindi mi calcolo semplicemente la derivata [tex]2x -k +1/x[/tex] , e la eguaglio a -2 (reciproco per il teorema sulla derivata dell'inversa etc.) e risolvo in x. Il valore di x che trovo dipenderà da k e se esiste dovrebbe verificare sia l'equazione inoziale, sia la richiesta dell'esercizio...cosa che invece è falsa. Non è assolutamente detto che la x verifichi f(lnk) quindi..
Mi rendo conto riguardandoci meglio che invece esiste una soluzione molto evidente per la f(x) ed è x=k che mi riporta alla formula risolutiva che hai mostrato tu, e che da k=1.
Grazie per l'aiuto, tornerò presto a perseguitarvi con qualche altra domanda banalozza come questa
"glspisso":
Ciao, grazie, provo a spiegarmi meglio.
1)L'apice ho solo dimenticato di trasciverlo.
Va beh,cose che capitano col caldo "mitologico" dell'ultimo periodo:
figurati che io stò per lavarmi il capo su un altro thread per aver letto un 3x come x,
e poi mangio prima d'andare a mare ad orari più potabili
.."glspisso":
2) Ho scritto Xo=? perchè appunto non sono in grado di risolvere [tex]lnk=x^2−kx+lnx[/tex] e trovare il valore di f(lnk)=Xo che mi renderebbe la vita molto più semplice.
Mi rendo conto riguardandoci meglio che invece esiste una soluzione molto evidente per la f(x) ed è x=k che mi riporta alla formula risolutiva che hai mostrato tu, e che da k=1.
Grazie per l'aiuto, tornerò presto a perseguitarvi con qualche altra domanda banalozza come questa
Ahhh..vedi che ora ci siamo?
A conferma che è colpa del caldo!!
A questo punto,però,perchè non provi a batter nuovamente Caronte,
ed a spiegarci meglio perche quella controimmagine che hai beccato ad occhio è l'unica
?Saluti dal web.
Edit
Caldo assassino:
m'era scappata la tua svista su quell'equazioncina che ha per soluzione k=-1..
Senza essere troppo fromale perchè sono un po' provato dalla giornata intensa, direi che si può vedere con un'analisi grafica avendo da un lato la parabola e dall'altro il logaritmo?
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