Derivata della funzione inversa
Sono incappato in un piccolo problema legato al calcolo della derivata della funzione inversa.
Ho una funzione $f:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ tale che $f(x)=\frac{(\log(x))^2-1}{\log(x)}$. In teoria $f$ sarebbe definita su $(0,1)\cup(1,+\infty)$, ma ai fini dell'esercizio il dominio va ristretto all'intervallo più ampio contenente il punto $\frac{1}{2}$, che è appunto $(0,1)$. La funzione inversa è $f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow(0,1)$ tale che $f^{-1}(x)=e^\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2}$, mentre la derivata è $f'(x)=\frac{(\log(x))^2+1}{x(\log(x))^2}$.
A questo punto l'esercizio chiede di trovare la derivata di $f^{-1}$ nell'origine. Sul mio libro la formula per la derivata inversa è: $(f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(f(x)))}$.
Se, delle due formule, applico quella più a destra, ottengo che $(f^{-1})'(0)=\frac{1}{2e}$, risultato concorde con le soluzioni del libro.
Se, delle due formule, tento di applicare quella più a sinistra, ho invece che $f(x)=0$ da cui $x=e$, e ciò mi turba, in quanto $e\notin(0,1)$.
Qual è il problema? Grazie.
Ho una funzione $f:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ tale che $f(x)=\frac{(\log(x))^2-1}{\log(x)}$. In teoria $f$ sarebbe definita su $(0,1)\cup(1,+\infty)$, ma ai fini dell'esercizio il dominio va ristretto all'intervallo più ampio contenente il punto $\frac{1}{2}$, che è appunto $(0,1)$. La funzione inversa è $f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow(0,1)$ tale che $f^{-1}(x)=e^\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2}$, mentre la derivata è $f'(x)=\frac{(\log(x))^2+1}{x(\log(x))^2}$.
A questo punto l'esercizio chiede di trovare la derivata di $f^{-1}$ nell'origine. Sul mio libro la formula per la derivata inversa è: $(f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(f(x)))}$.
Se, delle due formule, applico quella più a destra, ottengo che $(f^{-1})'(0)=\frac{1}{2e}$, risultato concorde con le soluzioni del libro.
Se, delle due formule, tento di applicare quella più a sinistra, ho invece che $f(x)=0$ da cui $x=e$, e ciò mi turba, in quanto $e\notin(0,1)$.
Qual è il problema? Grazie.
Risposte
"booleandomain":
A questo punto l'esercizio chiede di trovare la derivata di $f^{-1}$ nell'origine. Sul mio libro la formula per la derivata inversa è: $(f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(f(x)))}$.
Se, delle due formule, applico quella più a destra, ottengo che $(f^{-1})'(0)=\frac{1}{2e}$, risultato concorde con le soluzioni del libro.
Se, delle due formule, tento di applicare quella più a sinistra, ho invece che $f(x)=0$ da cui $x=e$, e ciò mi turba, in quanto $e\notin(0,1)$.
Ti invito a controllare sul libro le formule che riporti. La mia impressione è che tu abbia condensato due cose diverse in una sola.
Cito testualmente cosa riporta il mio libro (Canuto, Tabacco - Analisi Matematica I).
E' corretto?
Teorema 6.9 (Derivata della funzione inversa). Sia $f(x)$ una funzione continua e invertibile in un intorno di un punto $x_0\in\mathbb{R}$; inoltre, sia $f$ derivabile in $x_0$, con $f'(x_0)\ne 0$. Allora la funzione inversa $f^{-1}(y)$ è derivabile in $y_0=f(x_0)$ e si ha $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$.
E' corretto?
La formula del tuo libro e' corretta (quella dell'ultimo post) - a non essere corretta (in un punto) e' quella che hai citato in precedenza:
Sul mio libro la formula per la derivata inversa è:
$(f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(f(x)))}.$
Scusatemi ma davvero non capisco... le due formule mi paiono esattamente la stessa cosa e per passare dall'una all'altra basta l'uguaglianza $y=f(x)$...
Teorema 6.9 (Derivata della funzione inversa). Sia $f(x)$ una funzione continua e invertibile in un intorno di un punto $x_0\in\mathbb{R}$; inoltre, sia $f$ derivabile in $x_0$, con $f'(x_0)\ne 0$. Allora la funzione inversa $f^{-1}(y)$ è derivabile in $y_0=f(x_0)$ e si ha $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$.
Mi sembra che per la tua f(x) manchi la derivabilità in $x_0=0$
"booleandomain":
Scusatemi ma davvero non capisco... le due formule mi paiono esattamente la stessa cosa e per passare dall'una all'altra basta l'uguaglianza $y=f(x)$...
Oggi sono fuso (e leggo quello che mi aspetto di leggere e non quello che c'e' scritto)- hai perfettamente ragione che le due formule sono (quasi) la stessa cosa.
Scusami -ora vado a vedere quale era il tuo dubbio iniziale
Cerco di rispondere alla domanda iniziale (scusandomi di nuovo per aver contribuito a spostare il discorso verso una direzione sbagliata (mi pare) ).
Secondo me la $f$ e' invertibile sia in $(0,1)$ che in $(1,+\infty)$ dando luogo a due diverse $f^{-1}$. Per trovare la derivata in zero della $f^{-1}$ che
interessa a te devi trovare $x$ tale che $f(x)=0$ con $x\in(0,1)$ - questa $x$ e' $1/e$ da cui $f'(1/e)=\frac{2}{1/e}=2e$ da cui alla fine trovi $\frac{1}{2e}$
Secondo me la $f$ e' invertibile sia in $(0,1)$ che in $(1,+\infty)$ dando luogo a due diverse $f^{-1}$. Per trovare la derivata in zero della $f^{-1}$ che
interessa a te devi trovare $x$ tale che $f(x)=0$ con $x\in(0,1)$ - questa $x$ e' $1/e$ da cui $f'(1/e)=\frac{2}{1/e}=2e$ da cui alla fine trovi $\frac{1}{2e}$
Ma scusa ponendo $f(x)=0$ non si ottiene $(\log(x))^2-1=0$ cioè $(\log(x))^2=1$ cioè $\log(x)=1$ cioè $x=e$?
"booleandomain":
Ma scusa ponendo $f(x)=0$ non si ottiene $(\log(x))^2-1=0$ cioè $(\log(x))^2=1$ cioè $\log(x)=1$ cioè $x=e$?
da $(\log(x))^2=1$ si ottiene $\log(x)=+-1$ cioè $x=e^(+-1)$
$x=e$ appartiene all'intervallo $(1, +oo)$
$x=1/e$ appartiene all'intervallo $(0,1)$
"booleandomain":
Ma scusa ponendo $f(x)=0$ non si ottiene $(\log(x))^2-1=0$ cioè $(\log(x))^2=1$ cioè $\log(x)=1$ cioè $x=e$?
$log x = +1$ e $log x = -1$
Ma a te interessa il secondo caso. Da cui $x = 1/e$.
PS: a quanto pare avevo avuto le traveggole sulla formula per la derivata dell'inversa. Scusa!
Oh che scemo che sono! Ora ho capito il mio errore. Grazie a tutti! 
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