Derivata composta
ho la seguente funzione
$f(x)=x^(x^2-2)$
devo trovarmi la sua derivata in $x=sqrt(2)$
quindi se non mi sbaglio devo trovarmi la derivata di $sqrt(2)^(sqrt(2)^2-2)$
è esatta la mia base di partenza?
$f(x)=x^(x^2-2)$
devo trovarmi la sua derivata in $x=sqrt(2)$
quindi se non mi sbaglio devo trovarmi la derivata di $sqrt(2)^(sqrt(2)^2-2)$
è esatta la mia base di partenza?
Risposte
allora prima vi svolgo $e^((2x*logx)+(x^2*1/x))$ giusto???
Per quello che abbiamo detto dobbiamo fare
$ D[e^(x^2logx)]=e^(x^2logx)D[x^2logx] $.
L'unico problema è rappresentato da $ D[x^2logx] $ , ma questa è facile perchè la devi svolgere tenendo conto di quello che ti ho scritto prima, cioè tenendo presente come si fa la derivata di un prodotto.
Chiaro?
$ D[e^(x^2logx)]=e^(x^2logx)D[x^2logx] $.
L'unico problema è rappresentato da $ D[x^2logx] $ , ma questa è facile perchè la devi svolgere tenendo conto di quello che ti ho scritto prima, cioè tenendo presente come si fa la derivata di un prodotto.
Chiaro?
si si .....quindi $(e^(x^2logx)*(2x*logx)+(x^2*1/x))/((2logx)^2)$ giusto????
"silvia_85":
si si .....quindi $(e^(x^2logx)*(2x*logx)+(x^2*1/x))/((2logx)^2)$ giusto????
Ti manca una parentesi:
$(e^(x^2logx)*((2x*logx)+(x^2*1/x)))/((2logx)^2)$
e devi aggiungere l'altro pezzo, cioè $ f(x)g'(x) $ della formula della derivata del rapporto, ma è giusta!
In definitiva ottieni
$((e^(x^2logx)*((2x*logx)+(x^2*1/x)))- f(x)g'(x))/((2logx)^2)$
Finalmente, questa derivata che sembrava infinita, si è fatta.
si per la parentesi hai ragione comunque anche se non l'ho messa l'avevo sottointesa......scusa ma $f(x)g'(x)$ è $x^2*1/x$...cosi mi svolgo il prodotto di funzioni e faccio
$(e^(x^2logx)*(2logx^2+x^2/x))/((2logx)^2)$
$(e^(x^2logx)*(2logx^2+x^2/x))/((2logx)^2)$
comunque questa derivata non è poi cosi semplice...ci sono molti passaggi da fare!!!!
No, ho abusato di notazione. Quelle due funzioni f,g sono:
$ f(x)=e^(x^2logx) $ , $ g(x)=e^(2logx) $
cioè ho scritto la seconda parte della formula di derivazione del rapporto ( $ f(x)/g(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g(x)^2 $ ).
PS: da qualche parte, prima, hai dimenticato che il denominatore è $ (e^(2logx))^2 $ e non $ (2logx)^2 $
$ f(x)=e^(x^2logx) $ , $ g(x)=e^(2logx) $
cioè ho scritto la seconda parte della formula di derivazione del rapporto ( $ f(x)/g(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g(x)^2 $ ).
PS: da qualche parte, prima, hai dimenticato che il denominatore è $ (e^(2logx))^2 $ e non $ (2logx)^2 $
ok ok....ho capito il pezzo che manca!!!!....però è lungo come procedimento...e come calcolo!!!!
E' tutta questione di esercizio, credimi.
Secondo me era più comodo derivarla in questo modo ad esempio:
$f(x)=x^(x^2-2)$
Riscrivo $f(x)$ come:
$f(x)=e^((x^2-2)logx)$
$f '(x)=e^((x^2-2)logx)*((x^2-2)1/x+2xlogx)$
$f '(x)=e^((x^2-2)logx)*(x-2/x+2xlogx)$
Ma sopra abbiamo detto che possiamo riscrivere $e^((x^2-2)logx)$ come $x^(x^2-2)$, quindi raccogliendo $x^-1$ nel secondo fattore si ottiene:
$f '(x)= x^(x^2-3)*(x^2+(2x^2)logx-2)$
$f(x)=x^(x^2-2)$
Riscrivo $f(x)$ come:
$f(x)=e^((x^2-2)logx)$
$f '(x)=e^((x^2-2)logx)*((x^2-2)1/x+2xlogx)$
$f '(x)=e^((x^2-2)logx)*(x-2/x+2xlogx)$
Ma sopra abbiamo detto che possiamo riscrivere $e^((x^2-2)logx)$ come $x^(x^2-2)$, quindi raccogliendo $x^-1$ nel secondo fattore si ottiene:
$f '(x)= x^(x^2-3)*(x^2+(2x^2)logx-2)$
beh...questo procedimento mi sembra più semplice da fare...soprattutto in un compito con tanti esercizi
Si, tanto l'esponente della $e$ è abbastanza comodo da derivare 
vorrei solo sapere come hai raccolto a $x^-1$ puoi farmi vedere il passaggio? in dettaglio....grazie
Scrivo il risultato senza raccogliere $x^-1$, che è comunque giusto ma meno elegante 
$f '(x)=x^(x^2-2)*(x-2/x+2xlogx)$
Adesso raccogliere $x^-1$ significa raccogliere $1/x$ quindi:
$f '(x)=x^(x^2-2)*1/x(x^2-2+(2x^2)logx)$
Abbiamo detto che $1/x$ è uguale ad $x^-1$ quindi:
$f '(x)=x^(x^2-2)*x^-1(x^2-2+(2x^2)logx)$
Sapendo che $a^\alpha*a^\beta$, con $a,\alpha,beta in RR$ è uguale ad $a^(\alpha+\beta)$, possiamo scrivere che:
$f '(x)=x^(x^2-3)(x^2-2+(2x^2)logx)$
Esiste il metodo "scemo" per vedere se non hai sbagliato facendo il raccoglimento: se abbiamo fatto giusto il seguente prodotto dovrebbe ridarci l'espressione di partenza, ovvero:
$1/x(x^2-2+(2x^2)logx)$ dovrebbe darci $(x-2/x+2xlog(x))$
$f '(x)=x^(x^2-2)*(x-2/x+2xlogx)$
Adesso raccogliere $x^-1$ significa raccogliere $1/x$ quindi:
$f '(x)=x^(x^2-2)*1/x(x^2-2+(2x^2)logx)$
Abbiamo detto che $1/x$ è uguale ad $x^-1$ quindi:
$f '(x)=x^(x^2-2)*x^-1(x^2-2+(2x^2)logx)$
Sapendo che $a^\alpha*a^\beta$, con $a,\alpha,beta in RR$ è uguale ad $a^(\alpha+\beta)$, possiamo scrivere che:
$f '(x)=x^(x^2-3)(x^2-2+(2x^2)logx)$
Esiste il metodo "scemo" per vedere se non hai sbagliato facendo il raccoglimento: se abbiamo fatto giusto il seguente prodotto dovrebbe ridarci l'espressione di partenza, ovvero:
$1/x(x^2-2+(2x^2)logx)$ dovrebbe darci $(x-2/x+2xlog(x))$
thanks!!!!!!
Come la si prende si prende il mio pensiero è sempre questo. Non puoi fare queste derivate se prima non si riesce a derivare f(x)g(x) e/o f(x)/g(x) e/o composizioni di funzioni. Credo che questo sia un problema ben più grande rispetto alla strada da seguire per calcolare la derivata.
"avmarshall":
Come la si prende si prende il mio pensiero è sempre questo. Non puoi fare queste derivate se prima non si riesce a derivare f(x)g(x) e/o f(x)/g(x) e/o composizioni di funzioni. Credo che questo sia un problema ben più grande rispetto alla strada da seguire per calcolare la derivata.
Si, anche secondo me partire con funzioni come questa senza conoscere e saper applicare le regole di derivazione è poco utile
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