Derivata come tasso di variazione istantaneo

[Sk_Anonymous]

Ho un dubbio concettuale che mi attanaglia da un po', lo espongo con un esempio.

Fissiamo un sistema di riferimento monodimensionale, con la sua origine, e fissiamo anche un'origine per i tempi. Supponiamo di avere un corpo in moto, e in ogni istante $t$ la sua posizione è data da:

$s(t) = 3t \cdot \text{metri}$

Dove t è misurato in secondi, e la funzione mi restituisce lo spazio percorso in metri.
Ovvero a 0 secondi il corpo si trova nell'origine, quando sono trascorsi 2 secondi il corpo si trova a 6 metri dall'origine, 4 secondi a 12 metri ecc...

Ora calcoliamo il tasso medio di variazione

$var(t_0, t_1) = \frac{f(t_1) - f(t_0)}{t_1-t_0} = \frac{3(t_1)-3(t_0)}{t_1-t_0}=3 \frac{\text{metri}}{\text{secondo}}$

Ovvero ogni secondo il corpo percorre 3 metri, e fin qui ci siamo. Ora calcoliamo la derivata della funzione spazio percorso:

$s'(t) = 3 \frac{\text{metri}}{\text{secondo}}$ le unità di misura ovviamente sono le stesse, almenochè non ho capito male io e l'operazione di limite in qualche modo cambi le unità di misura. Essendo la derivata il "tasso di variazione istantaneo", questo significa che il corpo in ogni istante infinitesimo varia la sua velocità di 3 metri? Perchè è assurdo .....

Supponiamo che $t_0 = 1$ e $t_1 = 1.01$, allora $s(t_1)-s(t_0) = 0.01 < 3$ ... con il tasso di variazione medio invece mi ritrovo, perchè variando il tempo di un secondo la variazione viene $3$

[Seneca1]

Nel caso da te considerato la velocità del punto materiale è costante; quindi la velocità istantanea e la velocità media necessariamente coincidono (in una diagramma spazio-tempo il moto sarebbe rappresentato da una retta).

Immagina di essere in auto. Al tempo $t_0$ guardi il tachimetro e vedi che $s'(t_0) = 3$ metri al secondo, che è la velocità istantanea. La velocità media prende in considerazione due tempi $t_1 < t_2$ e lo spazio percorso dal tempo $t_1$ al tempo $t_2$, senza curarsi della velocità in ogni tempo $t$ intermedio. Ti è chiaro?

[DajeForte]

"raffamaiden":$s(t) = 3t \cdot \text{metri}$

Meglio: $s(t)={3 ("metri")/("secondo")} cdot t$

Infatti mettendo un tempo $t$, le unità unita di tempo si semplificano e rimani con spazio.

"raffamaiden":$var(t_0, t_1) = \frac{f(t_1) - f(t_0)}{t_1-t_0} = \frac{3(t_1)-3(t_0)}{t_1-t_0}=3 \frac{\text{metri}}{\text{secondo}}$

$var(t_0,t_1)=\frac{s(t_1) - s(t_0)}{t_1-t_0} = ({3 ("metri")/("secondo")} t_0 - {3 ("metri")/("secondo")} t_1)/(t_0-t_1)\ =\ {3 ("metri")/("secondo")}$
Quindi è come viene a te, te però da dove lo hai ricavato il "secondo" al denominatore? Dal $t_1-t_0$ al denominatore? ma quello si semplifica con quello al numeratore, e quindi anche le unità. Viene invece dal rapporto che ti ho scritto io.

"raffamaiden":$s'(t) = 3 \frac{\text{metri}}{\text{secondo}}$ le unità di misura ovviamente sono le stesse, almenochè non ho capito male io e l'operazione di limite in qualche modo cambi le unità di misura. Essendo la derivata il "tasso di variazione istantaneo", questo significa che il corpo in ogni istante infinitesimo varia la sua velocità di 3 metri? Perchè è assurdo .....

L'unità della derivata è unità del codominio su unità del dominio, infatti ti esprime una variazione dell'immagine rispetto ad una variazione dell'argomento.
La derivata però rappresenta come cambia la funzione, localmente al punto, per una variazione unitaria dell'argomento; quindi per una variazione di un secondo. Ci devi un po' riflettere...in particolare nel tuo caso, funzione lineare, assume proprio il significato che incrementando di 1 secondoo il tempo, lo spazio f aumenta esattamente di 3 metri; se la derivata non è costante non è proprio così perchè la derivata cambia...Ragionaci

[Sk_Anonymous]

@DajeForte: ho risposto a Seneca e nel mentre hai scritto anche tu, ci penso dopo pranzo e vedo se ho capito .... da una lettura veloce dovresti aver centrato il punto ....

Non capisco cosa si intende con "tasso di variazione istantanea" ..... con "tasso di variazione medio" intendo che ad un incremento unitario corrisponde quella variazione, se la funzione è costante, o corrisponderebbe quella variazione se la funzione fosse costante. Cioè supponiamo che

ISTANTE (secondi) - SPAZIO PERCORSO (metri)
0-0
1-20
2-110
3-150

Allora la variazione media è $(150-0)/3 = 50$ significa che, percorrendo 50 metri ogni secondo costantemente, in 3 secondi sarei comunque arrivato a 150 metri. Ovvero se lungo il tragitto incremento di 1 l'unità temporale, posso assumere di essermi mosso sempre di 50 metri, senza ledere la posizione in cui andrò a finire alla fine.

Con "tasso di variazione istantaneo" cosa intendo? Che in quell'istante ho percorso quella quantità? In teoria per trovare la variazione della funzione dovrei fare il differenziale:

$df = f'(x) dx$ è la variazione infinitesima della funzione. Quindi il "tasso di variazione istantaneo" cosa significa? Cioè non è la variazione della funzione per incrementi unitari (dovrei porre $dx=1$ e non è detto che la mia approssimazione sia buona), non è neanche a "quanto dovrei andare" per ritrovarmi alla fine nelle stesse condizioni. Se nell'esempio del mio primo messaggio andassi a 3 metri in ogni istante, dopo un secondo potrei anche essere infinitamente lontano ....

[Sk_Anonymous]

"raffamaiden":
Con "tasso di variazione istantaneo" cosa intendo?

Nel caso della velocità istantanea, per esempio $[v=5 m/s]$, si intende semplicemente che il corpo, se mantenesse costante questa velocità per almeno $[1 s]$, percorrerebbe $[5 m]$. Il fatto che questa ipotesi sia effettivamente verificata, in questo contesto non ha nessuna rilevanza.

[Sk_Anonymous]

Allora se ho capito bene:

-Se la funzione è lineare
Allora la derivata rappresenta esattamente la variazione della funzione in un intervallo del dominio unitario. Cioè

$f(x_0+1) - f(x_0) = f'(x)$ basta la trigonometria per dimostrarlo

EDIT: ma anche con la definizione di derivata, infatti, in questo caso, il risultato del rapporto incrementale non cambia se $h \to 0$ o se $h \to 1$

-Se la funzione NON è lineare,
allora la derivata mi rappresenta $f(x_0+1) - f(x_0)$ ipotizzando che la funzione da $x_0$ a $x_0+1$ sia esattamente uguale alla retta tangente alla funzione stessa nel punto $x_0$. Se ciò non accade, la derivata non mi rappresenta una variazione alcuna. Almenochè io non riesca a trovare un intervallo del dominio eventualmente piccolo in cui la funzione può essere considerata lineare, o approssimata tale. Allora posso calcolarmi la variazione con il differenziale
$df = f'(x) dx$, questo differenziale sarà in genere più piccolo della derivata, essendo \( 0 < dx << 1 \)

In ogni caso il concetto è che se la funzione non è lineare, la derivata in se non mi da alcuna variazione "reale", ma solo un'informazione qualitativa di quanto rapidamente sta variando la funzione in quel punto.

E' tutto corretto? O c'è ancora qualche errore concettuale?

[Sk_Anonymous]

"raffamaiden":
Almenochè io non riesca a trovare un intervallo del dominio eventualmente piccolo in cui la funzione può essere considerata lineare, o approssimata tale. Allora posso calcolarmi la variazione con il differenziale $df = f'(x) dx$, questo differenziale sarà in genere più piccolo della derivata, essendo \(0

Questo stralcio è piuttosto approssimativo. Il resto è quasi impeccabile.

[Sk_Anonymous]

In che senso? Nel senso che per intervalli infinitesimi la funzione può essere sempre considerata lineare?
EDIT: Cioè la formula del differenziale è la formula trigonometrica
$\text{cateto opposto} = \text{cateto adiacente} \cdot tan(\alpha)$, però appunto l'ipotenusa deve essere "diritta"

[Sk_Anonymous]

"raffamaiden":Ho un dubbio concettuale che mi attanaglia da un po', lo espongo con un esempio.

Fissiamo un sistema di riferimento monodimensionale, con la sua origine, e fissiamo anche un'origine per i tempi. Supponiamo di avere un corpo in moto, e in ogni istante $t$ la sua posizione è data da:

$s(t) = 3t \cdot \text{metri}$

Dove t è misurato in secondi, e la funzione mi restituisce lo spazio percorso in metri.
Ovvero a 0 secondi il corpo si trova nell'origine, quando sono trascorsi 2 secondi il corpo si trova a 6 metri dall'origine, 4 secondi a 12 metri ecc...

Ora calcoliamo il tasso medio di variazione

$var(t_0, t_1) = \frac{f(t_1) - f(t_0)}{t_1-t_0} = \frac{3(t_1)-3(t_0)}{t_1-t_0}=3 \frac{\text{metri}}{\text{secondo}}$

Ovvero ogni secondo il corpo percorre 3 metri, e fin qui ci siamo. Ora calcoliamo la derivata della funzione spazio percorso:

$s'(t) = 3 \frac{\text{metri}}{\text{secondo}}$ le unità di misura ovviamente sono le stesse, almenochè non ho capito male io e l'operazione di limite in qualche modo cambi le unità di misura. Essendo la derivata il "tasso di variazione istantaneo", questo significa che il corpo in ogni istante infinitesimo varia la sua velocità di 3 metri? Perchè è assurdo .....

Supponiamo che $t_0 = 1$ e $t_1 = 1.01$, allora $s(t_1)-s(t_0) = 0.01 < 3$ ... con il tasso di variazione medio invece mi ritrovo, perchè variando il tempo di un secondo la variazione viene $3$

Salve raffamaiden. Stando a quello che ho letto, mi pare di aver capito che non ti è molto chiaro il concetto di istantaneità e di derivata di una funzione in un punto; ti capisco, perchè anche io ho avuto i tuoi stessi dubbi. Innanzitutto dobbiamo notare che un punto materiale che si muove, non importa come, POSSIEDE IN OGNI ISTANTE di tempo una certa velocità. Attenzione: un instante di tempo è un intervallo nullo, e non infinitesimo come hai detto tu. Immagina il momento in cui scatti una foto: tu catturi un istante di tempo, appunto. Lo so, il concetto di velocità istantanea all'inizio è difficile da comprendere, però pensa a quando sei in auto; se guardi il tachimetro sul cruscotto, saprai qual è la velocità della macchina nell'istante in cui punti gli occhi sullo strumento. Detto questo, ci terrei a precisare un concetto preliminare che reputo sia fondamentale per comprendere adeguatamente la questione della quale stiamo discutendo. Saprai benissimo che, in matematica, dividere una certa quantità per zero dà un risultato indeterminato, per definizione dell'operazione di divisione fra due numeri.
Prima dell'elaborazione del calcolo infinitesimale, aveva senso parlare soltanto di velocità media di un punto materiale, definita appunto come il rapporto tra lo spazio percorso in un certo intervallo di tempo e il tempo impiegato a percorrerlo. Matematicamente, se noi conosciamo la funzione $x(t)$ che restituisce, in funzione dell'ISTANTE di tempo considerato, lo spazio percorso dal punto, definire la velocità media della particella relativa all'intervallo di tempo $Delta t$, equivale a scrivere il rapporto incrementale $v_m=(x(t+Deltat)-x(t))/(Delta t)$. Fissato l'istante iniziale di tempo $t$ a partire dal quale si effettua la misurazione, la velocità media può essere considerata una funzione di $Delta t$, cioè $v_m(Delta t)$. Se $Delta t$ è molto piccolo, ho un'informazione che si avvicina alla velocità istantanea del punto; viceversa, se $Delta t$ è molto grande, possiedo solo un'informazione media, che evidentemente si può discostare di molto dalla velocità istantanea in $t$. Per esempio, il fatto che abbia coperto un percorso con la macchina alla velocità media di $80 Km/h$ non significa che non ho superato i limiti di velocità, in quanto avrei potuto compiere gran parte del tragitto a duecento all'ora e poi compiere la restante parte a passo d'uomo. Detto questo, ci accorgiamo dunque del fatto che, quanto più l'intervallo di tempo $Delta t$ è piccolo, tanto più il dato velocistico che ottengo è vicino alla velocità istantanea che il punto possedeva in $t$. Quindi tutto ciò ci fa pensare che, per sapere la velocità istantanea di un punto materiale all'istante $t$ (intervallo di ampiezza nulla) di tempo, basti prendere la formula $v_m=(x(t+Deltat)-x(t))/(Delta t)$ e calcolare $v_m$ ponendo $Delta t=0$. Ma questo non ci dice nulla! Infatti, se io considero un intervallo di tempo nullo, cioè un istante, in quest'ultimo il punto non si è mosso di un millimetro è dunque non solo $Delta t=0$, ma anche il numeratore $(x(t+Deltat)-x(t))$ è nullo! Abbiamo dunque un rapporto di due quantità nulle che, come ho precisato prima, è indeterminato in quanto qualsiasi numero soddisfa la divisione $0/0$. Quindi non ho ottenuto un bel niente. A questo punto interviene il calcolo infinitesimale. Se è vero che è impossibile calcolare quel dato per $Delta t=0$, mi posso chiedere: a che valore si avvicina la funzione $v_m(Delta t)$ quando il denominatore diviene sempre più piccolo, cioè TENDE A ZERO? In altre parole: quanto fa il limite per $Delta t$ che tende a zero di quella funzione? Evidentemente, sebbene il risultato dell'operazione $0/0$ sia indeterminato e quindi quella funzione non sia definita in zero, attraverso l'operazione di limite (detta di derivazione in questo caso) sono riuscito ad "eludere" l'indeterminatezza del risultato, in quanto, in corrispondenza dell'intervallo $Delta t=0$ (dell'istante $t$), ho associato alla funzione un certo numero reale, il limite, che rappresenta dunque la velocità istantanea del punto materiale. Spero di essere stato chiaro, ciao.

P.S:
1) Tasso di variazione medio: Consideriamo la funzione $x(t)=7t^2$ che esprime lo spazio percorso in funzione dell'istante di tempo. Se la disegni, otterrai un grafico come questo (consideriamo ovviamente solo la parte positiva dell'asse delle ascisse).
http://www.wolframalpha.com/input/?i=7x%5E2
A questo punto, sia $t_0=2s$ e sia $t_1=3s$. $f(2)=28 m$ e $f(3)=63 m$. Disegniamo tali punti sul piano cartesiano. Tracciamo inoltre il triangolo di base $t_1-t_0$ ed altezza $f(3)-f(2)$. La velocità media, pari al rapporto tra l'altezza e la base del triangolo, è il tangente dell'angolo delimitato dalla base e dall'ipotenusa del triangolo. Tale velocità media, o più genericamente tale "tasso di variazione medio", esprime la maniera "più semplice e lineare possibile" per percorrere $f(3)-f(2)$ metri in un secondo.

2) Il differenziale di una funzione, contrariamente a quanto dicono i libri di fisica, non è necessariamente una quantità infinitesima.

[Sk_Anonymous]

"raffamaiden":

Ora calcoliamo il tasso medio di variazione

$var(t_0, t_1) = \frac{f(t_1) - f(t_0)}{t_1-t_0} = \frac{3(t_1)-3(t_0)}{t_1-t_0}=3 \frac{\text{metri}}{\text{secondo}}$

Ovvero ogni secondo il corpo percorre 3 metri, e fin qui ci siamo.

Tasso medio di variazione di che cosa rispetto a che cosa?

E poi, se la velocità media ti viene tot metri al secondo non significa che il corpo compie tot metri in un secondo. Questa è solo un informazione media. Il corpo potrebbe compiere "molti metri in una parte dell'intervallo di tempo e pochi nell'altra", in maniera tale che la media viene tot". Come ti ho detto sopra, se copro $100Km$ in due ore vuol dire che in generale mi sono mosso con una velocità variabile, percorrendo alcuni tratti a trenta, altri a cento, altri a dieci, altri a centotrenta (e non vado oltre ). Però, se mi fossi mosso perennemente a cinquanta all'ora avrei impiegato esattamente lo stesso tempo, consumando però molto meno.

[Sk_Anonymous]

"raffamaiden":
In che senso?

Mi sembra normale esprimere delle perplessità a proposito del seguente passaggio:

"raffamaiden":
... questo differenziale sarà in genere più piccolo della derivata ...

Che cosa significa "in genere"? Delle due l'una:
1. Argomentare in modo corretto.
2. Argomentare in modo sbagliato.
Almeno in queste discussioni, voglio sperare che il terzo non sia dato.

[Sk_Anonymous]

@lisdap: ti ringrazio per le risposte e per l'attenzione, ma sinceramente non credo tu mi abbia detto cose che già non sapevo, senza offesa eh La definizione di derivata la conoscevo, anche il concetto di media aritmetica ce l'ho presente. Nel primo messaggio avevo detto che percorro 3 metri in un secondo perchè in quell'esempio specifico la velocità era costante, non perchè la media veniva 3. Non era una affermazione che voleva valere in generale, infatti nel secondo messaggio dove ho costruito una tabella con "dati sperimentali" apposta per non fare venire velocità costanti, ho comunque dato un interpretazione di velocità media come

Ovvero se lungo il tragitto incremento di 1 l'unità temporale, posso assumere di essermi mosso sempre di 50 metri, senza ledere la posizione in cui andrò a finire alla fine.

Il mio dubbio riguarda l'interpretazione che il mio testo da della derivata, ovvero quello di "tasso di variazione istantaneo". Affermazione che io ho interpretato come "se la derivata è $x$, in un istante infinitesimo mi muovo di $x$", ottenendo un'assurdo. Ma come mi hanno fatto notare DajeForte prima e speculor poi, è necessario considerare sempre incrementi unitari (cioè porre quel $dx$ del differenziale uguale a 1), cioè l'interpretazione è "se la funzione si comporta nell'intervallo unitario successivo come si comporta nell'intorno del punto in cui mi sto calcolando la derivata, in altre parole è il segmento della tangente nel punto in cui sto derivando, allora la variazione della funzione è pari alla derivata".

Tuttavia ora il mio problema è che se la funzione non è lineare, supponiamo che cresca strettamente come l'esponenziale, l'ipotesi non è mai verificata, e quindi per calcolare gli incrementi dovrei considerare "pezzi" della funzione che siano lineari. Per questo aspetto la risposta di speculor sul perchè questo concetto è approssimativo.

Perchè senza questa approssimazione, mi resta un concetto di derivata puramente "qualitativo" .....

[Sk_Anonymous]

"speculor":
[quote="raffamaiden"]
... questo differenziale sarà in genere più piccolo della derivata ...

Che cosa significa "in genere"? Delle due l'una:
1. Argomentare in modo corretto.
2. Argomentare in modo sbagliato.
Almeno in queste discussioni, voglio sperare che il terzo non sia dato.[/quote]

Sia $x_0$ e $x_0 + dx$ appartenenti al dominio della funzione e sia la funzione derivabile su $[x_0,x_0+dx]$ (esiste la derivata destra in $x_0$ e quella sinistra in $x_0+dx$). Il mio problema è che devo prendere una restrizione della funzione che sia lineare, ovvero devo prendere un "pezzo" della funzione che sia un segmento, o molto prossimo a un segmento. Possiamo affermare che la condizione affinchè ciò si verifichi è che la retta tangente alla funzione in quel punto approssimi bene la funzione in un intorno di quel punto, ovvero

$(f(x_0+dx)-f(x_0)) - (\frac{df}{dx}(x_0) \cdot dx) = o(dx)$

Questo è sicuramente vero. Dalla definizione di o-piccolo:

$lim_{dx \to 0} \frac{(f(x_0+dx)-f(x_0)) - (\frac{df}{dx}(x_0) \cdot dx)}{dx} = lim_{dx \to 0} \frac{(f(x_0+dx)-f(x_0))}{dx} - lim_{dx \to 0} \frac{ \frac{df}{dx}(x_0) \cdot dx }{dx} = $
$ = \frac{df}{dx}(x_0) - \frac{df}{dx}(x_0) = 0$ (ricordando che $\frac{df}{dx}(x_0)$ è costante e si porta fuori dal limite)

Quindi se $dx \to 0$ posso considerare la funzione lineare. Poichè l'incremento lo calcolo come $df = f'(x_0)dx$ (che non avrebbe alcun senso se la funzione non fosse lineare) e poichè \( 0
EDIT: In effetti, pensandoci, se la derivata è negativa, $df > f'(x_0)$. Non so se ti riferivi a questo.

[Sk_Anonymous]

"raffamaiden": Sia $x_0$ e $x_0 + dx$ appartenenti al dominio della funzione e sia la funzione derivabile su $[x_0,x_0+h]$ (esiste la derivata destra in $x_0$ e quella sinistra in $x_0+h$)

Innanzitutto, cosa intendi per $dx$? Te lo chiedo perchè vedo che prima usi $dx$ e poi $h$..

[Sk_Anonymous]

"lisdap":[quote="raffamaiden"] Sia $x_0$ e $x_0 + dx$ appartenenti al dominio della funzione e sia la funzione derivabile su $[x_0,x_0+h]$ (esiste la derivata destra in $x_0$ e quella sinistra in $x_0+h$)

Innanzitutto, cosa intendi per $dx$? Te lo chiedo perchè vedo che prima usi $dx$ e poi $h$..[/quote]

Grazie, ho corretto

[Sk_Anonymous]

"raffamaiden":[quote="lisdap"][quote="raffamaiden"] Sia $x_0$ e $x_0 + dx$ appartenenti al dominio della funzione e sia la funzione derivabile su $[x_0,x_0+h]$ (esiste la derivata destra in $x_0$ e quella sinistra in $x_0+h$)

Innanzitutto, cosa intendi per $dx$? Te lo chiedo perchè vedo che prima usi $dx$ e poi $h$..[/quote]

Grazie, ho corretto [/quote]
Prego.

Sinceramente non ho ben capito quale sia il tuo problema. I vari post appaiono un pò "confusionari". Rispiegacelo in maniera più chiara, così possiamo aiutarti meglio, ciao

[Sk_Anonymous]

@raffamaiden
La discussione, ripiegando sul concetto di differenziale, rischia di diventare un po' sterile. In ogni modo, visto che stai confrontando dei simboli, devo ritenere che questi simboli siano numeri. Allora, affinchè $[df]$ possa essere considerato un numero, è necessario specificare un intervallo $[dx]$ sul quale calcolarlo. A questo punto, sarebbe allora meglio utilizzare le notazioni $[\Deltaf]$ e $[\Deltax]$. Ma allora, per poter calcolare esattamente $[\Deltaf]$, bisognerebbe tener conto di tutti i termini dello sviluppo. In pratica, quando scrivi $[dff'(x_0)]$, e sarebbe meglio scrivere $[\Deltaf>f'(x_0)]$. Di fatto, arrivi a quella conclusione assurda perchè stai trascurando tutti gli altri termini dello sviluppo, quei termini che diventano sempre più importanti nel fare in modo che $[dff'(x_0)]$?

[Sk_Anonymous]

"speculor":@raffamaiden
La discussione, ripiegando sul concetto di differenziale, rischia di diventare un po' sterile. In ogni modo, visto che stai confrontando dei simboli, devo ritenere che questi simboli siano numeri. Allora, affinchè $[df]$ possa essere considerato un numero, è necessario specificare un intervallo $[dx]$ sul quale calcolarlo. A questo punto, sarebbe allora meglio utilizzare le notazioni $[\Deltaf]$ e $[\Deltax]$. Ma allora, per poter calcolare esattamente $[\Deltaf]$, bisognerebbe tener conto di tutti i termini dello sviluppo. In pratica, quando scrivi $[dfsfrutto l'estensione di $[\Deltax]$ che ha la potenza del continuo, per la quale, quando calcolo $[df]$, e sarebbe meglio scrivere $[\Deltaf]$, io possa ottenere una disuguaglianza opposta, $[df>f'(x_0)]$, e sarebbe meglio scrivere $[\Deltaf>f'(x_0)]$. Di fatto, arrivi a quella conclusione assurda perchè stai trascurando tutti gli altri termini dello sviluppo, quei termini che diventano sempre più importanti nel fare in modo che $[dff'(x_0)]$?

I passaggi in blu li ho capiti appieno, quelli in nero ho capito più o meno quello che volevi dire, quelli in rosso non ci ho capito una mazza Quindi in pratica il succo del discorso non l'ho capito.
Ci riferiamo a \(\displaystyle f'(x_0) > 0 \), giusto? Perchè se sono negative il discorso cambia.

Supponiamo che io abbia \(\displaystyle a = b \cdot c \) e \(\displaystyle 0= 0 \).
Allora \(\displaystyle b = \frac{m}{n} \). Poichè \(\displaystyle b<1 \Rightarrow \frac{m}{n} < 1 \Rightarrow m Allora \(\displaystyle c \cdot m < c \cdot n \). Da \(\displaystyle a = b \cdot c \Rightarrow a = \frac{m}{n} c \Rightarrow a \cdot n = c \cdot m \). Quindi \(\displaystyle a \cdot n < c \cdot n \) e \(\displaystyle a Ora \(\displaystyle a = \Delta f \) , \(\displaystyle c = f'(x_0) \) e \(\displaystyle b = \Delta x \)

Per quanto riguarda i controesempi, non me ne vengono in mente. Non ho capito cosa vuol dire "sfrutto l'estensione di $[\Deltax]$ che ha la potenza del continuo". La potenza del continuo dovrebbe essere la cardinalità di \(\displaystyle \mathbb{R} \), ma quella frase proprio non l'ho capita

[Sk_Anonymous]

@raffamaiden

"speculor":
... bisognerebbe tener conto di tutti i termini dello sviluppo.

Mi risulta che, se la funzione non è lineare, per calcolare una variazione io debba considerare tutti i termini dello sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale $[x_0]$. Inoltre, se la funzione non è un polinomio, essi sono infiniti.

"speculor":
... sfrutto l'estensione di $[\Deltax]$ che ha la potenza del continuo,

Siccome ti vedevo interessato ad un $[\Deltax]$ piccolo, era un modo come un altro per dire che, per quanto tu lo possa prendere piccolo, lì dentro possono capitare lo stesso genere di cose che possono capitare sull'intero asse reale.

"raffamaiden":
Supponiamo che io abbia \(\displaystyle a = b \cdot c \) e \(\displaystyle 0= 0 \).
Allora \(\displaystyle b = \frac{m}{n} \). Poichè \(\displaystyle b<1 \Rightarrow \frac{m}{n} < 1 \Rightarrow m Allora \(\displaystyle c \cdot m < c \cdot n \). Da \(\displaystyle a = b \cdot c \Rightarrow a = \frac{m}{n} c \Rightarrow a \cdot n = c \cdot m \). Quindi \(\displaystyle a \cdot n < c \cdot n \) e \(\displaystyle a Ora \(\displaystyle a = \Delta f \) , \(\displaystyle c = f'(x_0) \) e \(\displaystyle b = \Delta x \)

Se non ti dispiace, eviterei di controllare questo stralcio. Siccome ho la sensazione che tu voglia dimostrare l'indimostrabile, confido sulle mie ultime precisazioni e ti inviterei a riflettere soprattutto su questo:

"speculor":
Facciamo così: ti lascio fissare $[f'(x_0)]$ grande a piacere e $[\Deltax]$ piccolo a piacere. Credi veramente sia impossibile immaginare una funzione per la quale $[\Deltaf>f'(x_0)]$?

A me pare che le tue obiezioni dovrebbero almeno superare questo test. Non ho capito, credi sia impossibile la funzione di cui parlo?

[DajeForte]

"raffamaiden":Supponiamo che io abbia \(\displaystyle a = b \cdot c \) e \(\displaystyle 0= 0 \).
Allora \(\displaystyle b = \frac{m}{n} \). Poichè \(\displaystyle b<1 \Rightarrow \frac{m}{n} < 1 \Rightarrow m Allora \(\displaystyle c \cdot m < c \cdot n \). Da \(\displaystyle a = b \cdot c \Rightarrow a = \frac{m}{n} c \Rightarrow a \cdot n = c \cdot m \). Quindi \(\displaystyle a \cdot n < c \cdot n \) e \(\displaystyle a Ora \(\displaystyle a = \Delta f \) , \(\displaystyle c = f'(x_0) \) e \(\displaystyle b = \Delta x \)

Secondo me non stai provando a dimostrare l'indimostrabile...ma una cosa che non ha una grande utilità...

Se hai $f:A mapsto RR$ con $A$ aperto di $RR$, ed $f$ è derivabile in $x_0 in A$ allora puoi definire

$Delta f_{x_0}(h)\ =\ f'(x_0) cdot h$, che è una funzione lineare in $h$ ed ovviamente per $h$ che tende a 0, $Delta f$ tende a 0. Però con questo cosa vuoi concludere?

[Sk_Anonymous]

@DajeForte

"raffamaiden":
Quindi se $dx \to 0$ posso considerare la funzione lineare. Poichè l'incremento lo calcolo come $df = f'(x_0)dx$ (che non avrebbe alcun senso se la funzione non fosse lineare) e poichè \( 0

Mi riferivo a questo.