Derivata come tasso di variazione istantaneo

[Sk_Anonymous]

Ho un dubbio concettuale che mi attanaglia da un po', lo espongo con un esempio.

Fissiamo un sistema di riferimento monodimensionale, con la sua origine, e fissiamo anche un'origine per i tempi. Supponiamo di avere un corpo in moto, e in ogni istante $t$ la sua posizione è data da:

$s(t) = 3t \cdot \text{metri}$

Dove t è misurato in secondi, e la funzione mi restituisce lo spazio percorso in metri.
Ovvero a 0 secondi il corpo si trova nell'origine, quando sono trascorsi 2 secondi il corpo si trova a 6 metri dall'origine, 4 secondi a 12 metri ecc...

Ora calcoliamo il tasso medio di variazione

$var(t_0, t_1) = \frac{f(t_1) - f(t_0)}{t_1-t_0} = \frac{3(t_1)-3(t_0)}{t_1-t_0}=3 \frac{\text{metri}}{\text{secondo}}$

Ovvero ogni secondo il corpo percorre 3 metri, e fin qui ci siamo. Ora calcoliamo la derivata della funzione spazio percorso:

$s'(t) = 3 \frac{\text{metri}}{\text{secondo}}$ le unità di misura ovviamente sono le stesse, almenochè non ho capito male io e l'operazione di limite in qualche modo cambi le unità di misura. Essendo la derivata il "tasso di variazione istantaneo", questo significa che il corpo in ogni istante infinitesimo varia la sua velocità di 3 metri? Perchè è assurdo .....

Supponiamo che $t_0 = 1$ e $t_1 = 1.01$, allora $s(t_1)-s(t_0) = 0.01 < 3$ ... con il tasso di variazione medio invece mi ritrovo, perchè variando il tempo di un secondo la variazione viene $3$

[Sk_Anonymous]

"speculor":Facciamo così: ti lascio fissare [f′(x0)] grande a piacere e [Δx] piccolo a piacere. Credi veramente sia impossibile immaginare una funzione per la quale [Δf>f′(x0)]?


A me pare che le tue obiezioni dovrebbero almeno superare questo test. Non ho capito, credi sia impossibile la funzione di cui parlo?

"DajeForte":
Se hai $f:A mapsto RR$ con $A$ aperto di $RR$, ed $f$ è derivabile in $x_0 in A$ allora puoi definire

$Delta f_{x_0}(h)\ =\ f'(x_0) cdot h$, che è una funzione lineare in $h$ ed ovviamente per $h$ che tende a 0, $Delta f$ tende a 0. Però con questo cosa vuoi concludere?

Volevo dire, ed è quello che avevo cercato di dimostrare ("cercato" nel senso che non so se la dimostrazione è giusta), che se $f'(x_0) > 0$ e se $0
@speculor: Io ho studiato solo questo metodo per calcolare la variazione (al di la di calcolare la differenza tra i valori della funzione, ovviamente ), quindi non ho studiato come calcolare la variazione con lo sviluppo in serie di Taylor, pur avendo studiato le serie di Taylor e potendomi immaginare, grossolanamente, cosa intendi. Comunque se cambio la formula con la quale calcolo il differenziale, ovvero al posto di $ \Delta f_{x_0}(h)\ =\ f'(x_0) cdot h$ ne uso un'altra, capisco come quello che ho detto prima non è più vero.

EDIT: Comunque, rispondendo alla tua domanda, fermo restando che la derivata deve essere positiva e la variazione me la devo calcolare come differenziale, si. Io non riesco a trovare un controesempio.

EDIT2: Si potrebbe anche dimostrare per via geometrica. Se prendo due triangoli rettangoli, uno che ha cateto minore di lunghezza unitaria e l'altro che ha cateto minore di lunghezza $<1$, con lo stesso angolo tra ipotenusa e cateto minore.
Allora il primo ha cateto maggiore pari alla tangente dell'angolo, il secondo, trovandosi "dentro" al primo, deve avere necessariamente cateto maggiore minore della tangente dell'angolo.

[Sk_Anonymous]

"raffamaiden":
EDIT2: Si potrebbe anche dimostrare per via geometrica. Se prendo due triangoli rettangoli, uno che ha cateto minore di lunghezza unitaria e l'altro che ha cateto minore di lunghezza $<1$, con lo stesso angolo tra ipotenusa e cateto minore. Allora il primo ha cateto maggiore pari alla tangente dell'angolo, il secondo, trovandosi "dentro" al primo, deve avere necessariamente cateto maggiore minore della tangente dell'angolo.

Non ho capito se questo è rivolto a me.

"speculor":
Facciamo così: ti lascio fissare $[f'(x_0)]$ grande a piacere e $[\Deltax]$ piccolo a piacere. Credi veramente sia impossibile immaginare una funzione per la quale $[\Deltaf>f'(x_0)]$?

In termini nemmeno troppo intuitivi, voglio dire questo:

1. Ti lascio fissare $[f'(x_0)]$ grande a piacere: per quanto tu ti stia sforzando di farmi partire dal punto iniziale con tangente ripida, quasi verticale ...

2. Ti lascio fissare $[\Deltax]$ piccolo a piacere: per quanto tu ti stia sforzando di lasciarmi poco spazio lungo l'asse orizzontale per crescere ...

3. Credi veramente sia impossibile immaginare una funzione per la quale $[\Deltaf>f'(x_0)]$? ... riuscirò sempre a crescere a sufficienza rimanendo all'interno di quel poco spazio orizzontale che mi hai reso disponibile, in modo tale che la proiezione del tratto di curva sull'asse verticale sia maggiore del coefficiente angolare corrispondente alla grande pendenza con la quale mi hai costretto a partire.