Derivabilità, massimi e minimi gli estremi del dominio
Buongiorno a tutti! Ho trovato un esercizio in cui viene data una funzione $f: I=[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in $I$ e si chiede di discutere la veridicità dell'affermazione "se $x_0\in I$ è un punto di massimo per $f$, allora $f'(x_0)=0$.
Ora, l'affermazione è falsa, ma sulla giustificazione vorrei la vostra conferma. Io ho pensato che se $f$ è derivabile in tutto l'intervallo, significa che agli estremi ammette derivata solo dx e solo sx rispettivamente in $a$ e in $b$. Quindi non si applicano le ipotesi del teorema di Fermat che afferma che se una funzione è definita in tutto un intorno di un punto $x_0$, è derivabile in $x_0$ e $x_0$ è un punto di estremo, allora $f'(x_0)=0$.
In pratica quello che voglio dire è che massimi e minimi vanno ricercati agli estremi del dominio non solo se lì la funzione non è derivabile, ma anche se lo è perchè, per i motivi di cui sopra, potrebbe non valere 0.
È tutto corretto? Sul mio libro non è sottolineato bene questo punto...
Grazie in anticipo!
Ora, l'affermazione è falsa, ma sulla giustificazione vorrei la vostra conferma. Io ho pensato che se $f$ è derivabile in tutto l'intervallo, significa che agli estremi ammette derivata solo dx e solo sx rispettivamente in $a$ e in $b$. Quindi non si applicano le ipotesi del teorema di Fermat che afferma che se una funzione è definita in tutto un intorno di un punto $x_0$, è derivabile in $x_0$ e $x_0$ è un punto di estremo, allora $f'(x_0)=0$.
In pratica quello che voglio dire è che massimi e minimi vanno ricercati agli estremi del dominio non solo se lì la funzione non è derivabile, ma anche se lo è perchè, per i motivi di cui sopra, potrebbe non valere 0.
È tutto corretto? Sul mio libro non è sottolineato bene questo punto...
Grazie in anticipo!
Risposte
L'affermazione non dovrebbe essere vera?
Voglio dire, prendiamo ad esempio $f(x)=-x^2+2$ è una parabola con concavità rivolta verso il basso.
la sua derivata è $f'(x)=-2x$ che si annulla per $x_0=0$, sostituendolo abbiamo che $x=0$ è un punto di massimo con valore 2.
Nell'analisi di funzione ad una variabile, trovare le $x$ che annullano la derivata della funzione equivale a trovare i punti stazionari che determinano la crescita e la decrescita della funzione e di conseguenza massimi e minimi.
L'affermazione a me sembra vera.
Voglio dire, prendiamo ad esempio $f(x)=-x^2+2$ è una parabola con concavità rivolta verso il basso.
la sua derivata è $f'(x)=-2x$ che si annulla per $x_0=0$, sostituendolo abbiamo che $x=0$ è un punto di massimo con valore 2.
Nell'analisi di funzione ad una variabile, trovare le $x$ che annullano la derivata della funzione equivale a trovare i punti stazionari che determinano la crescita e la decrescita della funzione e di conseguenza massimi e minimi.
L'affermazione a me sembra vera.
In realtà l'esercizio era un quiz, le opzioni sono le seguenti e la risposta giusta è la c. Mi ha messo un po' in difficoltà e quella è la spiegazione migliore che sono riuscito a dare.
14. Sia $f : I = [−3, 10]\rightarrow\mathbb{R}$; sapendo che $f$ è derivabile in $I$ e che $x_0\in I$ quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) se $x_0$ è un punto di minimo per $f$ allora $f'(x_0) = 0$
(b) se $x_0$ è un punto di massimo per $f$ allora $f'(x_0) = 0$;
(c) se $x_0\in [−2, 9]$ è un punto di minimo per $f$ allora $f'(x_0) = 0$;
(d) se $f(x_0)$ è massimo per $f$ allora $f'(x_0) = 0$;
(e) se $x_0$ è un punto di massimo per la funzione allora $f'(x_0) = 0$ e $f''(x_0) < 0$
14. Sia $f : I = [−3, 10]\rightarrow\mathbb{R}$; sapendo che $f$ è derivabile in $I$ e che $x_0\in I$ quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) se $x_0$ è un punto di minimo per $f$ allora $f'(x_0) = 0$
(b) se $x_0$ è un punto di massimo per $f$ allora $f'(x_0) = 0$;
(c) se $x_0\in [−2, 9]$ è un punto di minimo per $f$ allora $f'(x_0) = 0$;
(d) se $f(x_0)$ è massimo per $f$ allora $f'(x_0) = 0$;
(e) se $x_0$ è un punto di massimo per la funzione allora $f'(x_0) = 0$ e $f''(x_0) < 0$
a) e b) sono sbagliate per il motivo che dici tu.
c) è giusta perché l'intervallo in cui si trova il punto è interno all'intervallo $I$, quindi la derivata esiste e si può usare Fermat.
d) è sbagliata per il solito problema agli estremi.
e) idem.
@psykomantisita usa come controesempio la funzione $f:[0,1]->RR$ tale che $f(x)=x$. La derivata in $0$ e in $1$ non è definita, ma il punto $0$ è minimo e $1$ è massimo.
c) è giusta perché l'intervallo in cui si trova il punto è interno all'intervallo $I$, quindi la derivata esiste e si può usare Fermat.
d) è sbagliata per il solito problema agli estremi.
e) idem.
@psykomantisita usa come controesempio la funzione $f:[0,1]->RR$ tale che $f(x)=x$. La derivata in $0$ e in $1$ non è definita, ma il punto $0$ è minimo e $1$ è massimo.
Ok grazie! Quindi il trucco è proprio il fatto che il teorema non è applicabile se la funzione è definita solo in un intorno dx o sx del punto?
In realtà la funzione derivata è definita su un aperto, quindi la derivata nei punti estremali dell'intervallo non esiste proprio. Esiste il limite incrementale destro o sinistro, per come l'abbiamo definita noi nei vari corsi la derivata non esiste.
Infatti quello era un altro mio dubbio. L'esercizio afferma che la funzione è derivabile su quell'intervallo chiuso, ma quindi se esistono solo derivata sx o dx agli estremi di un intervallo, la funzione si dice comunque "derivabile"?
Per la continuità vale, o almeno secondo il mio libro di testo, che a un certo punto cita: "Osserviamo che se una funzione è definita solo in un intorno destro di $x_0$ , la condizione di continuità da destra coincide con quella di continuità data in (3.6).
Ad esempio, la funzione $f(x)=sqrt(x)$, definita solo per $x\in[0,+infty)$, è continua in $0$."
Per la continuità vale, o almeno secondo il mio libro di testo, che a un certo punto cita: "Osserviamo che se una funzione è definita solo in un intorno destro di $x_0$ , la condizione di continuità da destra coincide con quella di continuità data in (3.6).
Ad esempio, la funzione $f(x)=sqrt(x)$, definita solo per $x\in[0,+infty)$, è continua in $0$."
La derivabilità in un intervallo chiuso si estende col concetto di derivata destra e derivata sinistra, come dici tu.
Ma il teorema di Fermat si applica quando la funzione è derivabile in un punto $x_0$ (quindi con derivata sinistra e derivata destra uguali, per definizione) interno al dominio. Tant'è che se calcoli le derivate agli estremi del dominio della funzione che ho proposto sopra non trovi $0$, ma il Teorema di Fermat è valido comunque: qui manca un'ipotesi.
Ma il teorema di Fermat si applica quando la funzione è derivabile in un punto $x_0$ (quindi con derivata sinistra e derivata destra uguali, per definizione) interno al dominio. Tant'è che se calcoli le derivate agli estremi del dominio della funzione che ho proposto sopra non trovi $0$, ma il Teorema di Fermat è valido comunque: qui manca un'ipotesi.
Esatto! Allora mi è tutto chiaro, grazie!
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