Derivabilità in un punto di frontiera
Buonasera a tutti ragazzi!! Vi chiedo anticipatamente scusa se la domanda po' sembrare sciocca ma riguarda un dubbio che mi porto dietro da qualche giorno. Dunque, ho a che fare con la seguente funzione:
$f(x,y) = (y-1)^2 * sqrt(1+x-y)$
e mi viene chiesto di calcolare, se esiste, il gradiente di $f(x,y)$ nel punto $(0,1)$. Essendo un punto che annulla il radicando, quindi un punto di dubbia derivabilità, ho verificato se la funzione è ivi derivabile con il calcolo delle derivate parziali. Mi vien fuori che la funzione è derivabile nel punto in questione e che il gradiente corrisponde al vettore nullo. E' a questo punto che si insinua un dubbio: essendo un punto di frontiera, come si concilia il fatto che la funzione è derivabile nello stesso (sempre se quello che ho fatto è giusto) con il fatto che la funzione non può essere incrementata verso l'alto e verso sinistra (perché non esiste al di sopra della retta $y=x+1$)?
$f(x,y) = (y-1)^2 * sqrt(1+x-y)$
e mi viene chiesto di calcolare, se esiste, il gradiente di $f(x,y)$ nel punto $(0,1)$. Essendo un punto che annulla il radicando, quindi un punto di dubbia derivabilità, ho verificato se la funzione è ivi derivabile con il calcolo delle derivate parziali. Mi vien fuori che la funzione è derivabile nel punto in questione e che il gradiente corrisponde al vettore nullo. E' a questo punto che si insinua un dubbio: essendo un punto di frontiera, come si concilia il fatto che la funzione è derivabile nello stesso (sempre se quello che ho fatto è giusto) con il fatto che la funzione non può essere incrementata verso l'alto e verso sinistra (perché non esiste al di sopra della retta $y=x+1$)?
Risposte
Data \(f(x):\mathbb{R^{n}}\supset \Omega\rightarrow \mathbb{R}^{m}\) definita su un aperto, per la definizione di differenziabilità in \(x_{0}\in \Omega\) deve essere vero che una certa funzione \(g(x_{0})(x):\Omega\backslash x_{0}\rightarrow \mathbb{R}^{m}\) tenda a \(0\) per \(x\rightarrow x_{0}\). Ciò non toglie che si possa formulare la definizione con un chiuso. Si tratta pure sempre di un limite e perché sia ben definito basta che \(x_{0}\in \Omega\cap \mbox{D}(\Omega)\subset \Omega^{-}\).
\(x_{0}\) deve appartenere ad \(\Omega\) perché quando si scrive \(g(x_{0},x)\) compare espressamente \(f(x_{0})\). Deve appartenere al suo derivato \(\mbox{D}(\Omega)\) perché in \(x_{0}\) si calcola un limite e l'appartenenza al derivato è richiesta per definizione. Quindi come ho scritto prima non vedo a priori nessun motivo per non definire la differenziabilità per \(\Omega=\Omega^{-}\) quindi chiuso.
Tu però usi un teorema che stabilisce un criterio per verificare la differenziabilità quando la definizione è data su un aperto. Dovresti verificare se il teorema continua ad avere senso quando invece si considera \(\Omega\) chiuso. Questo è quello che farei io. In più, dai un'occhiata a Pagani-Salsa Vol. 1 pag. 352 per derivate direzionali su un chiuso.
\(x_{0}\) deve appartenere ad \(\Omega\) perché quando si scrive \(g(x_{0},x)\) compare espressamente \(f(x_{0})\). Deve appartenere al suo derivato \(\mbox{D}(\Omega)\) perché in \(x_{0}\) si calcola un limite e l'appartenenza al derivato è richiesta per definizione. Quindi come ho scritto prima non vedo a priori nessun motivo per non definire la differenziabilità per \(\Omega=\Omega^{-}\) quindi chiuso.
Tu però usi un teorema che stabilisce un criterio per verificare la differenziabilità quando la definizione è data su un aperto. Dovresti verificare se il teorema continua ad avere senso quando invece si considera \(\Omega\) chiuso. Questo è quello che farei io. In più, dai un'occhiata a Pagani-Salsa Vol. 1 pag. 352 per derivate direzionali su un chiuso.
Considerato che frequento la facoltà di economia e che non ho capito praticamente nulla di quello che hai scritto beh, temo di aver sbagliato sezione.. grazie mille comunque per la risposta. Non vorrei averla vanificata 
Di norma il differenziale sul piano è definito su un insieme aperto, come dire, senza il bordo. L'insieme su cui è definita la tua funzione è questo
Hai detto giustamente che \((0,1)\) appartiene alla frontiera. Teorema: se le derivate parziali esistono e sono continue allora la funzione è differenziabile. Tale teorema fa riferimento alla definizione di differenziabilità su un insieme aperto. Non puoi aspettarti che valga anche per \((0,1)\) che non appartiene all'interno (aperto più grande contenuto in un dato insieme) del dominio quindi non appartiene ad alcun aperto contenuto nel dominio (laddove ha senso definire la funzione).
PS: Rileggendo il post iniziale ho visto che ho interpretato derivabilità come differenziabilità, non so se è proprio questo quello che intendevi.
Hai detto giustamente che \((0,1)\) appartiene alla frontiera. Teorema: se le derivate parziali esistono e sono continue allora la funzione è differenziabile. Tale teorema fa riferimento alla definizione di differenziabilità su un insieme aperto. Non puoi aspettarti che valga anche per \((0,1)\) che non appartiene all'interno (aperto più grande contenuto in un dato insieme) del dominio quindi non appartiene ad alcun aperto contenuto nel dominio (laddove ha senso definire la funzione).
PS: Rileggendo il post iniziale ho visto che ho interpretato derivabilità come differenziabilità, non so se è proprio questo quello che intendevi.
Per verificare se il gradiente esiste non devo fare riferimento al concetto di derivabilità?
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