Derivabilità funzione composta

[stefanofet]

Determinare per quali valori di A e B la funzione F(x) è derivabile in X=2



$f(x)= $
$ e^(1/(x-2)) , x<2 $
$ x^2+a*x+b , x>2 $


a me sembra derivabile per qualsiasi A ={x|R}

[Camillo]

La funzione ha due espressioni analitiche diverse a seconda che $ x > 2 , x < 2 $ e quindi bisogna che i due rami si saldino in $ x = 2 $ , cioè la funzione sia continua in $ x= 2 $ e poi deve anche essere derivabile in $ x=2 $ e bisogna quindi che le due derivate , destra e sinistra in $ x = 2 $ siano uguali.
per la continuità deve essere : $ 2a +3b = -4 $ in quanto il $ lim_(x rarr 2^-) e^(1/(x-2)$ $= 0 $ mentre $ x^2+ax+b$ vale : $4+2a+b$ per $x=2 $.
Analogo discorso per la derivabilità.

Camillo

[stefanofet]

"camillo":La funzione ha due espressioni analitiche diverse a seconda che $ x > 2 , x < 2 $ e quindi bisogna che i due rami si saldino in $ x = 2 $ , cioè la funzione sia continua in $ x= 2 $ e poi deve anche essere derivabile in $ x=2 $ e bisogna quindi che le due derivate , destra e sinistra in $ x = 2 $ siano uguali.
per la continuità deve essere : $ 2a +3b = -4 $ in quanto il $ lim_(x rarr 2^-) e^(1/(x-2)$ $= 0 $ mentre $ x^2+ax+b$ vale : $4+2a+b$ per $x=2 $.
Analogo discorso per la derivabilità.

Camillo

la derivata prima di $e^(1/(x-2)$ in $x=2$ vale 0
mentre la derivata prima di $x^2+a*x+b$ in $x=2$ vale 4+a
quindi la seconda regola è $4+a=0$

Per determinare i due parametri si deve risolvere il sistema:

$4+a=0$
$2*a+b=-4$

a=-4
b=4

Giusto ? oppure ho fatto errori nel calcolare il limite della derivata prima di $e^(1/(x-2)$ per $x=2$ ????

[Camillo]

Corretto .

Camillo