Derivabilità funzione
Salve a tutti,
mi è sorto un dubbio.
Data la funzione definita a tratti:
$ f(x)={ ( x ^^ x<=1 ),( 2x-1 ^^x>1 ):} $
Determinane la continuità e la derivabilità. Allora, io ho scritto:
$ lim_(x -> 1^-) f(x)=lim_(x -> 1^+) f(x)=f(1) $ Perciò la funzione è continua.
Studiando la derivabilità in x=1, il mio professore dice che devo considerare i limiti della derivata della funzione per x=1. ovvero: scritto
$ f'(x)={ ( 1^^ x<1 ),( 2 ^^x>1 ):} $
Nel punto x=1 devo considerare i limiti delle due funzioni costanti e non dire semplicemente $ f'-(1)=1 $ e $ f'+(1)=2 $
$ lim_(x -> 1-) 1=1 $ e $ lim_(x -> 1+) 2=2 $
Però non ho capito il perchè
Grazie e spero di essermi spiegato
mi è sorto un dubbio.
Data la funzione definita a tratti:
$ f(x)={ ( x ^^ x<=1 ),( 2x-1 ^^x>1 ):} $
Determinane la continuità e la derivabilità. Allora, io ho scritto:
$ lim_(x -> 1^-) f(x)=lim_(x -> 1^+) f(x)=f(1) $ Perciò la funzione è continua.
Studiando la derivabilità in x=1, il mio professore dice che devo considerare i limiti della derivata della funzione per x=1. ovvero: scritto
$ f'(x)={ ( 1^^ x<1 ),( 2 ^^x>1 ):} $
Nel punto x=1 devo considerare i limiti delle due funzioni costanti e non dire semplicemente $ f'-(1)=1 $ e $ f'+(1)=2 $
$ lim_(x -> 1-) 1=1 $ e $ lim_(x -> 1+) 2=2 $
Però non ho capito il perchè
Grazie e spero di essermi spiegato
Risposte
ciao Maschinna
hai fatto tutto giusto
la funzione in $x=1$ è continua perchè il limite destro e sinistro della funzione in quel punto valgono entrambi $1$ che è il valore della funzione in quel punto
Per la derivabilità ... come tu scrivi correttamente la derivata a sinistra vale SEMPRE $1$ e a destra vale sempre $2$
quindi la funzione arriva nel punto $1$ con due derivate diverse, due tangenti diverse... la derivata nel punto $1$ non esiste... allora puoi dire che li hai un punto di non derivabilità che in questo caso si chiama punto angoloso
hai fatto tutto giusto
la funzione in $x=1$ è continua perchè il limite destro e sinistro della funzione in quel punto valgono entrambi $1$ che è il valore della funzione in quel punto
Per la derivabilità ... come tu scrivi correttamente la derivata a sinistra vale SEMPRE $1$ e a destra vale sempre $2$
quindi la funzione arriva nel punto $1$ con due derivate diverse, due tangenti diverse... la derivata nel punto $1$ non esiste... allora puoi dire che li hai un punto di non derivabilità che in questo caso si chiama punto angoloso
Ok, grazie mille. Però non ho capito perché per calcolare la derivata destra e sinistra nel punto 1 io debba considerare il limite delle 2 funzioni f'(x)
Nessuno che mi sappia rispondere?
Perchè non sai a priori se la funzione è derivabile.
E' derivabile se esiste il limite del rapporto incrementale, se esiste cioè la derivata
Siccome la funzione è definita a tratti non sai se è derivabile nel punto di contatto tra i due tratti
Fai il limite destro e sinistro della derivata
Fossero stati uguali avresti detto che la funzione è derivabile.
Sono diversi e finiti, la funzione non è derivabile e hai punto angoloso
E' derivabile se esiste il limite del rapporto incrementale, se esiste cioè la derivata
Siccome la funzione è definita a tratti non sai se è derivabile nel punto di contatto tra i due tratti
Fai il limite destro e sinistro della derivata
Fossero stati uguali avresti detto che la funzione è derivabile.
Sono diversi e finiti, la funzione non è derivabile e hai punto angoloso
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