Derivabilita'

[Sk_Anonymous]

Secondo voi una funzione cosi' definita:
f:N-->N-{0}, e' derivabile nel senso classico?
A me sembra di no.
karl.

[Principe2]

sono portato a dire "assolutamente no": in quanto non è possibile calcolarci sopra un limite.

[Sk_Anonymous]

La definizione di derivata si puo' dare in uno spazio vettoriale, e N non e' uno spazio vettoriale.

Luca.

[cyberman]

citazione:

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La definizione di derivata si puo' dare in uno spazio vettoriale, e N non e' uno spazio vettoriale.

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Io direi in uno spazio topologico (separabile), di cui ad esempio uno spazio vettoriale metrico è un caso particolare.
Un limite viene calcolato sempre in un punto di accumulazione, ossia un punto x_0 in cui ogni intorno contiene infiniti punti. Che io sappia non è possibile dare una definizione di insieme aperto o di intorno in N, il che rende impossibile trovare un punto di accumulazione, e quindi un punto derivabile in senso classico.

[Sk_Anonymous]

In uno spazio topologico, che io sappia, non c'e' una definizione di derivata; c'e', in un certo senso, in uno spazio metrico: si chiama derivata metrica, ma e' un oggetto strano e che si introduce solo per lo studio di certe equazioni di evoluzione.

Se uno pero' piglia la definizione di derivata direzionale, uno deve saper fare la somma di elementi del dominio!, per cui una struttura algebrica sotto ci vuole... e per fare tutto per bene, ci vuole lo spazio vettoriale.

Luca.

[cyberman]

citazione:

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una struttura algebrica sotto ci vuole...

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Credo che abbiamo entrambi fatto delle imprecisioni. Prima mi stavo concentrando sulla definizione di limite e mi era venuto in mente che in uno spazio vettoriale non sono definiti gli intorni prima che venga definita una distanza. Del resto hai ragione tu quando parli della necessità di una struttura algebrica. La cosa diventa evidente pensando che essendo la derivata un rapporto incrementale bisogna deinire un prodotto ed una somma.

Credo che l'ambientazione giusta per fare delle derivate sia quella di uno spazio vettoriale topologico.

Stavo cercando farmi venire qualche esempio in cui non è necessario introdurre una metrica ma tutti i casi che mi vengono in mente sono associati a derivate non-classiche (di Lie, deboli,...). Credo che ciò sia dovuto al fatto che le derivate classiche sono costruite su funzioni di R^n, e R^n è dotato di una, anzi molte, metriche.