Derivabilità

[domenico.migl]

Mentre studiavo mi è sorto un dubbio: perchè in tutti i teoremi sulle derivate (quali possono essere Rolle, Cauchy, Lagrange) si impone che la funzione sia derivabile in un intervallo aperto? Non può essere derivabile nell'intervallo chiuso?

[kobeilprofeta]

essere derivabile in [a,b] implica essere derivabile in (a,b)

quindi diciamo che i teoremi chiedono qualcosa di più debole
cioè: se è derivabile in [a,b] meglio ancora, ma in realtà a noi basta che sia derivabile in (a,b)

[domenico.migl]

Ook! Grazie tante

[dissonance]

In generale la differenziabilità dice qualcosa solo sugli insiemi aperti. Questo sarà più chiaro quando la studierai in dimensione superiore, dove si privilegia il punto di vista di "migliore approssimazione locale".

In una dimensione, puoi costruirti esempi di funzioni derivabili in $[0, 1]$, con la derivata (destra) che si annulla in $0$ ma tali che $0$ non sia né massimo né minimo; oppure, al contrario, funzioni che assumono massimo o minimo in $0$ e con la derivata che non si annulla. Questi esempi segnalano che il concetto di "derivata unidirezionale" è meno utile di quello di derivata bidirezionale (anche se non del tutto inutile).