Derivabilità

[melli13]

Sia $f(x,y)={((x^2y+(1+x)y^3)/(|x|^alpha+|y|^alpha), if (x,y)!=(0,0)),(0, if (x,y)=(0,0)):}$

Studiare la continuità e la derivabilità della funzione in $(0,0)$ al variare del parametro reale $alpha>0$

La funzione mi viene continua per $alpha<3$. Adesso voglio studiarmi le derivate direzionali.

Sia $v=(cos(theta), sen(theta))$, $theta in [0,2 pi)$

$lim_(t->0)(f(x_0+tv)-f(x_0))/t$ = $lim_(t->0)(f(t*cos(theta),t*sin(theta))-f((0,0)))/t$ = $lim_(t->0) (t^(2-alpha)(cos^2(theta)sin(theta)+sin^3(theta)+t*cos(theta)*sin^3(theta))/(|cos(theta)|^alpha+|sin(theta)|^(alpha)))=0$ se $alpha<2$

Ora, il mio dubbio è questo:
Per $2=3$ visto che non è nemmeno continua), ma per $alpha=2$?

$lim_(t->0) (cos^2(theta)sin(theta)+sin^3(theta)+t*cos(theta)*sin^3(theta))/(|cos(theta)|^2+|sin(theta)|^2)= sin(theta)$

Ora non capisco se posso concludere che quindi il limite non esiste perchè non è unico (varia in base a $theta$) oppure esiste e varia appunto in base al vettore che scegliamo...ho un po' di confusione...! Grazie mille se volete aiutarmi!

[melli13]

Riflettendo un altro po', sono arrivata alla conclusione che la funzione è derivabile per $alpha=2$ e la derivata direzionale vale proprio $sen(theta)$. Esempio: per quanto riguarda le derivate parziali:
$v_1=(cos0,sen0)=(1,0) rArr f_x (x,y)= 0$
$v_2=(cos(pi/2),sen(pi/2))=(0,1) rArr f_y (x,y)= 1$

Giusto? Ho bisogno solo di una conferma...Grazie

[melli13]

Nessuno può aiutarmi ?