Densità di un insieme in R
Ciao a tutti,
premetto che sono nuovo del forum quindi abbiate pietà!
mi trovo ad affrontare un esercizio di analisi che per quanto semplice non riesco a cogliere la soluzione.
L'esercizio in questione è il seguente:
Dato \(\displaystyle a>1 \), dimostrare che l'insieme E:{ $ a^x $ : $ x $ $ in $ $ QQ $} $ uu $ {\(\displaystyle -a^x \) : \(\displaystyle x \) $ in $ $ QQ $)}è denso in $ RR $
Il mio ragionamento è il seguente:
devo trovare un $ epsilon > 0 $ per cui una palla centrata in \(\displaystyle a^x \) e con raggio $ epsilon $ contenga almeno un punto di $ RR $) non appartenente a $ E $, quindi che tra due punti distinti di $ E $ esiste sempre almeno un punto intermedio che appartiene ad $ RR $ ma non ad $ E $. Giusto?
Il concetto credo ci sia ma non riesco a capire come dimostrarlo... c'è qualcosa che mi sfugge!
Vi ringrazio in anticipo e buona serata. (spero di aver usato correttamente le formule e prometto di fare pratica!
)
premetto che sono nuovo del forum quindi abbiate pietà!
mi trovo ad affrontare un esercizio di analisi che per quanto semplice non riesco a cogliere la soluzione.L'esercizio in questione è il seguente:
Dato \(\displaystyle a>1 \), dimostrare che l'insieme E:{ $ a^x $ : $ x $ $ in $ $ QQ $} $ uu $ {\(\displaystyle -a^x \) : \(\displaystyle x \) $ in $ $ QQ $)}è denso in $ RR $
Il mio ragionamento è il seguente:
devo trovare un $ epsilon > 0 $ per cui una palla centrata in \(\displaystyle a^x \) e con raggio $ epsilon $ contenga almeno un punto di $ RR $) non appartenente a $ E $, quindi che tra due punti distinti di $ E $ esiste sempre almeno un punto intermedio che appartiene ad $ RR $ ma non ad $ E $. Giusto?
Il concetto credo ci sia ma non riesco a capire come dimostrarlo... c'è qualcosa che mi sfugge!
Vi ringrazio in anticipo e buona serata. (spero di aver usato correttamente le formule e prometto di fare pratica!
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Risposte
Non devi dimostrare questo. "Denso" in questo caso significa che "ogni elemento di $RR$ si può approssimare bene quanto si vuole con un elemento di $E$". In epsilon-deltese devi dimostrare che, per ogni $y\in RR$ e per ogni $epsilon >0$ esiste sempre un elemento $a^x\in E$ tale che $|y-a^x|< epsilon$. Questo è un po' diverso dalla cosiddetta "proprietà di densità" dei numeri razionali, ovvero che tra ogni due numeri razionali ce n'è sempre un altro. Non ti confondere.
grazie della risposta,
ok, quindi:
Preso $ y = 1 $, $ EE $ $ a^x $ $ in $ $ E $ tale che $ |a^x-1| $ $ < $ $ epsilon $?
quindi so che:
$ 1- $ $ epsilon $ $ < $ $ a^x $ $ < $ $ 1+ $ $ epsilon $
Quindi mi basterà prendere un $ epsilon $ $ > $ $ 1$ ?
ok, quindi:
Preso $ y = 1 $, $ EE $ $ a^x $ $ in $ $ E $ tale che $ |a^x-1| $ $ < $ $ epsilon $?
quindi so che:
$ 1- $ $ epsilon $ $ < $ $ a^x $ $ < $ $ 1+ $ $ epsilon $
Quindi mi basterà prendere un $ epsilon $ $ > $ $ 1$ ?
No, no no e no. Non devi prendere $y=1$. Devi *fissare* $y\in RR $ ed $epsilon>0$, e dopo dovrai cercare un elemento di $E$ che approssima $y$ a meno di $epsilon$.
Se hai problemi, prova pure ad esporre i tuoi dubbi. La difficoltà di questo esercizio sta nel fatto che ti richiede di trattare entità astratte, in questo caso $y$ e $epsilon$. Queste cose possono confondere molto all'inizio ma dopo un po' ti diventano naturali.
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