Delta di Dirac
Salve a tutti!!! Chi saprebbe spiegarmi precisamente che senso ha scrivere la delta di Dirac valutata in x, al di fuori del segno di integrale? Ho trovato tale notazione in un'equazione, il cui secondo membro è, come dicevo sopra, la delta di Dirac valutata in un punto. Grazie anticipatamente!
Risposte
La distribuzione delta è definita come
\[
\langle \delta_{x_{0}},\varphi(x)\rangle =\varphi(x_{0})\ \forall \varphi \in A
\]
Dove \(A\) è l'insieme di definizione della distribuzione. L'integrale ha senso quando si può dare una rappresentazione appunto integrale della delta, con alcune particolare funzioni.
\[
\langle \delta_{x_{0}},\varphi(x)\rangle =\varphi(x_{0})\ \forall \varphi \in A
\]
Dove \(A\) è l'insieme di definizione della distribuzione. L'integrale ha senso quando si può dare una rappresentazione appunto integrale della delta, con alcune particolare funzioni.
Tanto per essere più precisi, sto studiando la seguente equazione differenziale:
\(\displaystyle (\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}) T(x,t)u(t)=\delta(x)\delta(t) \)
Ecco io vorrei cercare di capire precisamente il significato della notazione usata a secondo membro...
\(\displaystyle (\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}) T(x,t)u(t)=\delta(x)\delta(t) \)
Ecco io vorrei cercare di capire precisamente il significato della notazione usata a secondo membro...
C'è scritto in che spazio devi considerare la soluzione? Perché non capisco su che tipo di funzioni agiscono quelle delta.
E' esattamente il mio problema... La T rappresenta la temperatura che come distribuzione converge alla \(\displaystyle \delta(x) \), mentre la u dai calcoli che mi sono stati presentati dovrebbe essere la funzione di Heaviside. Però io non riesco a capire quella scrittura fuori da un integrale e mi è parso di capire che è la tua stessa difficoltà, o sbaglio?
Proviamo ad esplicitare i calcoli
\begin{split}
\left \{\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right\}T(x,t)\theta(t)&=\delta (x)\delta (t) \\
\frac{\partial T}{\partial t}(x,t)\theta(t)+T(x,t)\delta(t)-\theta(t)\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}(x,t)&=\delta (x)\delta (t)
\end{split}
Dove ho usato il fatto che \(\theta '=\delta\). Ora, considera \(T\) agente su \(C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{2})\) e usando quello che hai detto prima su \(T\) vedi cosa ne viene fuori. Non saprei cosa usare al posto di \(T\) perché negli esercizi che ho visto o era già in una forma nota e si usava una certa \(T\) senza spiegarne il motivo.
\begin{split}
\left \{\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right\}T(x,t)\theta(t)&=\delta (x)\delta (t) \\
\frac{\partial T}{\partial t}(x,t)\theta(t)+T(x,t)\delta(t)-\theta(t)\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}(x,t)&=\delta (x)\delta (t)
\end{split}
Dove ho usato il fatto che \(\theta '=\delta\). Ora, considera \(T\) agente su \(C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{2})\) e usando quello che hai detto prima su \(T\) vedi cosa ne viene fuori. Non saprei cosa usare al posto di \(T\) perché negli esercizi che ho visto o era già in una forma nota e si usava una certa \(T\) senza spiegarne il motivo.
Corretto... Anche se questi calcoli vengono usati per ricavare che u è proprio la funzione di Heaviside. Difatti tenendo presente che T è soluzione dell'equazione omogenea del calore viene fuori questo risultato. Ma, scusami se mi ripeto, la scrittura a secondo membro, sembra aver senso per te? Nel senso, usare la delta puntualmente e non all'interno di un integrale, che significato ha secondo te?
"jakojako":
Corretto... Anche se questi calcoli vengono usati per ricavare che u è proprio la funzione di Heaviside. Difatti tenendo presente che T è soluzione dell'equazione omogenea del calore viene fuori questo risultato.
Ah, ok. Non sapevo cosa dovevi fare.
Ma, scusami se mi ripeto, la scrittura a secondo membro, sembra aver senso per te? Nel senso, usare la delta puntualmente e non all'interno di un integrale, che significato ha secondo te?
\(T\) è una abbreviazione per \(\langle T,\varphi\rangle\). Scrivere \(T=\delta\) quindi è come dire \(\langle T,\varphi\rangle=\langle \delta,\varphi\rangle\) ovvero \(T\) agisce su una funzione come la distribuzione \(\delta\). Non avendo mai visto una espressione a secondo membro come quella potrei pensare che significhi
\[
\langle \delta(x,t),\varphi(x,t)\rangle=\varphi(0,0)
\]
Aspetta qualcuno con più esperienza
Il significato è quello che ti ha detto 5markov, null'altro. QUella è unequazione differenziale distribuzionale, dove appunto le funzioni in gioco sono in realtà distribuzioni, che sono il duale dello spazio delle funzioni a suporto compatto D. Per risolverla devi cercare una soluzione particolare debole dell'eq non omogenea: puoi restringerti alel distribuzioni temperate (cioè quelle che agiscono sullo spazio delel funzioni a decrescenza rapida), sulle quali è definita la trasformata di fourier, e quindi applicare quest'ultimo mezzo per risolverle. La soluzione finale sarà proprio la theta di heaviside
Non ho molta dimestichezza con le distribuzioni perchè non ho ancora seguito un corso di equazioni alle derivate parziali, però credo di aver capito il senso delle vostre risposte... Grazie mille!
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