Definizioni di: massimo, maggiorante, estremo sup

[zeri1]

salve a tutti, sto preparando l'esame orale di analisi matematica, tra le definizioni da sapere ci sono quelle di
massimo minimo, maggiorante minorante, estremo superiore e inferiore di insiemi funzioni e successioni.
Per quanto riguarda gli insiemi ho trovato tutte le definizioni senza problemi ma non riesco a trovarle per le funzioni e successioni. potete darmi una mano?

[_prime_number]

Applica semplicemente quelle che hai trovato degli insiemi rispettivamente a
$\{a_n : n\in\mathbb{N}\}=\{a_1,a_2,....\}$ per la successione generica $(a_n)_n$
e $Im(f)=\{f(x): x\in D(f)\}$ (dove $D(f)$ è il dominio di $f$) per la funzione generica $f$.

Paola

[Roxie1]

"zeri":salve a tutti, sto preparando l'esame orale di analisi matematica, tra le definizioni da sapere ci sono quelle di
massimo minimo, maggiorante minorante, estremo superiore e inferiore di insiemi funzioni e successioni.
Per quanto riguarda gli insiemi ho trovato tutte le definizioni senza problemi ma non riesco a trovarle per le funzioni e successioni. potete darmi una mano?

Le definizioni che cerchi per le successioni possono essere estese anche alle funzioni. In generale si dice che una successione \(\displaystyle an \) ammette massimo se \(\displaystyle \exists \) M tale che an\(\displaystyle \leq \) M \(\displaystyle \forall \)
n \(\displaystyle \in \) N, dove N è l'insieme dei naturali; invece \(\displaystyle an \) ammette minimo se
\(\displaystyle \exists \) m tale che an \(\displaystyle \geq \) m \(\displaystyle \forall \) n \(\displaystyle \in \) N. Le definizioni di estremo superiore ed inferiore sono simili, con una sostanziale differenza: il massimo e il minimo sono elementi della successione, l'estremo superiore ed inferiore, invece, possono non far parte di an: in altre parole sono come delle frontiere (rispettivamente dell'alto e dal basso) che la successione data non può superare. Se an è una successione monotona crescente e superiormente limitata si può dimostrare che
\(\displaystyle lim \) an = sup{an}
n\(\displaystyle \rightarrow \)\(\displaystyle \infty \)
Analogamente, una successione decrescente ed inferiormente limitata ha per limite il suo estremo inferiore: gli estremi, quindi , non sono dei valori effettivamente assunti da an, ma dei valori ai quali an si avvicina sempre più.

Per quanto riguarda le funzioni, si dice che \(\displaystyle f(x) \) : I \(\displaystyle \rightarrow \) R (dove I è un generico intervallo in cui la funzione è definita) ammette massimo M in I se \(\displaystyle \exists \) xM \(\displaystyle \in \) I tale che \(\displaystyle f(xM) \) \(\displaystyle \geq \) \(\displaystyle f(x) \): analoga è la definizione di minimo.

Si dice che un numero k è maggiorante per an ( o f(x) se parli di funzioni) se an \(\displaystyle < \) k
\(\displaystyle \forall \) n (se f(x) \(\displaystyle < \) k). In altre parole, un numero maggiorante per una successione o una funzione è un numero più grande di ogni termine della successione o della funzione che tu stai considerando.

[zeri1]

tutto chiaro, grazie a tutti siete stati velocissimi

[Roxie1]

"zeri":tutto chiaro, grazie a tutti siete stati velocissimi

[zeri1]

"Roxie":
In generale si dice che una successione \(\displaystyle an \) ammette massimo se \(\displaystyle \exists \) M tale che an\(\displaystyle \leq \) M \(\displaystyle \forall \)
n \(\displaystyle \in \) N, dove N è l'insieme dei naturali; invece \(\displaystyle an \) ammette minimo se
\(\displaystyle \exists \) m tale che an \(\displaystyle \geq \) m \(\displaystyle \forall \) n \(\displaystyle \in \) N.

Come hai detto tu massimo e minimo fanno parte della successione quindi nella definizione non dovrei aggiungere che M ed m facciano parte della successione?

[_prime_number]

Credo che Roxie abbia fatto un po' confusione tra indici e termini della successione.
$a_n$ ha minimo se esiste un numero naturale $m$ tale per cui $a_n\geq a_m, \forall n$. Analogo per il massimo.

Paola

[zeri1]

ah perfetto adesso ci sono, mentre per massimo e minimo di successione me la sai dire la definizione?

[_prime_number]

Ma è quella che ti ho appena detto!

Paola

[zeri1]

si scusa mi sto confondendo volevo dire per estremo superiore e inferiore di successione

[_prime_number]

Estremo superiore: esiste $C$ reale tale che $a_n\leq C, \forall n$. Analogo per l'inferiore.

Paola

[zeri1]

questa dovrebbe essere la definizione di maggiorante, l'estremo superiore è il minore dei maggioranti in simboli come posso scriverlo?

[_prime_number]

Sì hai ragione, scrivi così:

"prime_number":Estremo superiore: esiste $C$ reale tale che $a_n\leq C, \forall n$.

Inoltre per ogni $D$ tale che $a_n\leq D$ si ha $C\leq D$.

Così dovrebbe essere a posto.

Paola

[zeri1]

perfetto grazie mille