Definizioni...

[Fabry_Shock]

Scusate, purtroppo il libro che ho a disposizione e' un po' carente come definizioni, per cui sto facendo fatica a ricavarmele
Mi servirebbero le seguenti definizioni elementari:

FUNZIONE DERIVABILE
FUNZIONE INTEGRABILE

Inoltre mi chiedo se:
1) una funzione continua e' sempre derivabile e/o integrabile?
2) se una funzione e' derivabile e' sempre continua?
3) se una funzione e' integrabile e' sempre continua?

grazie

[cavallipurosangue]

se una funzione è continua non è sempre derivabile ad es. cuspide o punto angoloso o flesso a tangente verticale, sono l esempio di punti in cui la funzione è continua, ma non derivabile, mentre condizione necessaria affinchè una funzione sia derivabile in un punto è che ivi sia continua. derivabile, significa che i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale quando l incremento della variabile indipendente tende a zero esistono, coincidono e sono finiti.

[Bandit1]

Le definizioni delle prime due (quelle che ho sempre saputo)sono:
FUNZIONE DERIVABILE: se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale ([F(x+h)-F(x)]/h)

FUNZIONE INTEGRABILE: se una funzione è limitata nell'intervallo [a,b], è integrabile secondo Riemann se e solo se esiste una partizione per esempio P, tale che (R che è un'altra partizione unione tra P e Q) S(R)-s(R)
la funzione è integrabile quando considerati due insieme separati, esiste un solo elemento di separazione che è l'integrale definito.

[fireball1]

Una funzione e' derivabile in un intervallo (a ; b) se ammette
derivata finita in ogni punto interno all'intervallo, cioe'
se il limite del rapporto incrementale (f(x_0 + h) - f(x_0))/h ,
per h->0 , con x_0 appartenente ad (a ; b), e' un valore finito.
La derivabilita' di una funzione e' condizione sufficiente per la sua continuita',
ovvero il fatto che una funzione sia derivabile in un intervallo implica che
sia anche continua in quell'intervallo.

Una funzione continua non e' sempre derivabile, ma e' sempre integrabile.
Esempio: f(x) = sqrt(1 - x) e' continua in tutto il suo dominio D = (-inf ; 1] ,
e' integrabile, ma non derivabile in x = 1, infatti la derivata e'
f'(x) = -1/(2*sqrt(1 - x)) e non e' definita in x = 1.

[Sk_Anonymous]

Una funzione per essere integrabile non deve essere continua; ad esempio ogni funzione limitata con una quantita' numerabile di salti e' integrabile secondo Riemann.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it