Definizione riguardante le successioni
Ciao a tutti.
Vi riporto una definizione riguardante le successioni:
"Per ogni numero naturale $k$, esiste un numero naturale $m$, che ovviamente dipende dalla scelta di $k$, tale che tutti i termini della successione di posto maggiore o uguale a $m$ hanno, nella loro rappresentazione decimale, la cifra prima del punto e le prime $k$ cifre dopo il punto uguali a $0$."
Ma cosa significa in termini pratici? Non riesco proprio a capire.
Qualcuno è in grado di aiutarmi?
Vi riporto una definizione riguardante le successioni:
"Per ogni numero naturale $k$, esiste un numero naturale $m$, che ovviamente dipende dalla scelta di $k$, tale che tutti i termini della successione di posto maggiore o uguale a $m$ hanno, nella loro rappresentazione decimale, la cifra prima del punto e le prime $k$ cifre dopo il punto uguali a $0$."
Ma cosa significa in termini pratici? Non riesco proprio a capire.
Qualcuno è in grado di aiutarmi?
Risposte
A me sembra un modo per definire le successioni infinitesime (successioni che tendono a $0$).
In pratica immagina di avere una successione $a_n$ con $\lim_{n->+oo}a_n=0$.
Allora la proposizione che hai scritto dice che scelto arbitrariamente un numero naturale $k$ i termini $a_n$ della successione, "prima o poi" (cioè quando $n>=m$), sono tutti del tipo $a_n=\pm0.000...0008536...$ dove le prime $k$ cifre decimali sono zeri, le altre cifre possono essere qualunque ($0$ incluso).
Personalmente non ho mai visto nessun libro che definisca una successione infinitesima in questo modo.
In pratica immagina di avere una successione $a_n$ con $\lim_{n->+oo}a_n=0$.
Allora la proposizione che hai scritto dice che scelto arbitrariamente un numero naturale $k$ i termini $a_n$ della successione, "prima o poi" (cioè quando $n>=m$), sono tutti del tipo $a_n=\pm0.000...0008536...$ dove le prime $k$ cifre decimali sono zeri, le altre cifre possono essere qualunque ($0$ incluso).
Personalmente non ho mai visto nessun libro che definisca una successione infinitesima in questo modo.
"Sergio":
EDIT: Mi accorgo di aver scritto insieme ad Alfius dicendo sostanzialmente le stesse cose. Lascio il messaggio perché contiene un esempio specifico, forse utile
Non c'è problema
Il tuo esempio può certamente essere molto utile a facilitare la comprensione
"Wintel":
"Per ogni numero naturale $k$, esiste un numero naturale $m$, che ovviamente dipende dalla scelta di $k$, tale che tutti i termini della successione di posto maggiore o uguale a $m$ hanno, nella loro rappresentazione decimale, la cifra prima del punto e le prime $k$ cifre dopo il punto uguali a $0$."
Ma che è?
Comunque direi che quelle successioni sono tutte e le sole tale per cui $a_n= 10 * z + b_n$ per un qualche relativo z ed una successione b non negativa convergente a 0.
Ad esempio $ a_n= 10 + 1/n$ rispetta la condizione data.
Ciao, vi ringrazio tutti per le risposte.
Effettivamente il libro fa tutto un discorso per poi giungere alla definizione di successione infinitesima; dal momento che il libro insisteva sulla definizione in questione volevo avere un chiarimento in merito.
Detto fra noi il mio libro di analisi lascia moooolto a desiderare ma dal momento che il mio professore ne è co-autore, se non studiamo dal suo libro ci boccia all'esame.
Comunque vi ringrazio di nuovo. Buona serata.
Effettivamente il libro fa tutto un discorso per poi giungere alla definizione di successione infinitesima; dal momento che il libro insisteva sulla definizione in questione volevo avere un chiarimento in merito.
Detto fra noi il mio libro di analisi lascia moooolto a desiderare ma dal momento che il mio professore ne è co-autore, se non studiamo dal suo libro ci boccia all'esame.
Comunque vi ringrazio di nuovo. Buona serata.
Ah ecco. E' un tentativo numerico di introdurre il concetto di convergenza: di solito si ragiona in termini geometrici, con palline e cerchietti di raggio epsilon e delta. Interessante come scelta, forse vuole mettere in luce la natura algoritmica delle successioni, un aspetto che di solito i libri di analisi trascurano completamente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo