Definizione integrale più variabili
Salve ragazzi, sto studiando per l'orale di analisi 2 e nel programma ho visto che chiede la "definizione di integrale per funzioni di due o più variabili reali continue o discontinue su insiemi di misura nulla". Qualcuno sa aiutarmi ? Non so dove trovarla.
Grazie a tutti
Grazie a tutti
Risposte
Deve esserci qualche errore, la definizione di integrale (secondo Riemann suppongo) per funzioni a due o più variabili è la stessa sia che la funzione sia continua sia che sia discontinua. Si può dimostrare che una funzione continua è sempre integrabile e che una funzione discontinua in un numero di punti trascurabile ,ossia discontinua in un insieme di misura nulla (secondo peano jordan) è sempre integrabile, e quindi quello che intende il programma è il teorema (che non so se avete dimostrato o no, se lo avete dimostrato allora suppongo tu debba studiare anche la dimostrazione, se non lo avete dimostrato allora devi studiare solo l'enunciato): "Condizione sufficiente affinché una funzione sia integrabile secondo riemann è che i suoi punti di discontinuità formino un insieme di misura nulla secondo peano jordan".
Se invece avete fatto la misura di lebesgue, il precedente teorema diventa: "condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia integrabile secondo riemann è che i suoi punti di discontinuità formino un insieme di misura nulla secondo lebesgue".
Se invece avete fatto la misura di lebesgue, il precedente teorema diventa: "condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia integrabile secondo riemann è che i suoi punti di discontinuità formino un insieme di misura nulla secondo lebesgue".
"Vulplasir":
Deve esserci qualche errore, la definizione di integrale (secondo Riemann suppongo) per funzioni a due o più variabili è la stessa sia che la funzione sia continua sia che sia discontinua. Si può dimostrare che una funzione continua è sempre integrabile e che una funzione discontinua in un numero di punti trascurabile ,ossia discontinua in un insieme di misura nulla (secondo peano jordan) è sempre integrabile, e quindi quello che intende il programma è il teorema (che non so se avete dimostrato o no, se lo avete dimostrato allora suppongo tu debba studiare anche la dimostrazione, se non lo avete dimostrato allora devi studiare solo l'enunciato): "Condizione sufficiente affinché una funzione sia integrabile secondo riemann è che i suoi punti di discontinuità formino un insieme di misura nulla secondo peano jordan".
Se invece avete fatto la misura di lebesgue, il precedente teorema diventa: "condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia integrabile secondo riemann è che i suoi punti di discontinuità formino un insieme di misura nulla secondo lebesgue".
Direi sia la prima, quindi "Condizione sufficiente affinché una funzione sia integrabile secondo riemann è che i suoi punti di discontinuità formino un insieme di misura nulla secondo peano jordan". Solo la definzione mi interessa.
Non si dice definizione, ma enunciato, per essere più precisi l'enunciato corretto è questo:
Sia $f:[a,b]xx[c,d]->RR$ limitata, se l'insieme dei suoi punti di discontinuità è trascurabile (secondo peano jordan) allora f è integrabile in $[a,b]xx[c,d]$
Sia $f:[a,b]xx[c,d]->RR$ limitata, se l'insieme dei suoi punti di discontinuità è trascurabile (secondo peano jordan) allora f è integrabile in $[a,b]xx[c,d]$
ah tutto qua? Allora perfetto, ti ringrazio. Si hai ragione, enunciato è più appropriato riguardo a questa domanda
Si, questo è il cosiddetto "criterio di integrabilità" che ti fa capire subito se una funzione è integrabile (ma non ti dice niente riguardo alla non-integrabilità, per quello serve la misura di lebesgue). La definizione di integrale invece vale per qualsiasi f definita in un rettangolo, purché f sia limitata, non fa differenza tra funzioni continue o meno
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo